物理I 瞬間と平均の定義

質問

高校物理Iからの質問です。しかも一番基本的な部分になってしまうことをお許し下さい。

　あるサイトでは、平均の速さV(av)、瞬間の速さV、平均の加速度a(av)、瞬間の加速度aはそれぞれ

V(av)=Δx/Δt
V≡lim［Δt→0］Δx/Δt
a(av)=Δv/Δt
a≡lim［Δt→0］Δv/Δt

とそれぞれ定義されています。一応微積の基本は学んだので、この式の意味は理解出来ます。
例えば、自由落下運動や鉛直投げ上げのように、「きれいに」定式化される運動については、機械的に微分すれば良いから、求める速度や加速度の値は信頼出来るのですが、実際物理Iで扱う不規則(速度変化が単調でない)な運動に関しては、中々定式化するのが難しいと思います。定式化出来なければ、微分公式などを使うのは難しいと思います。
ではどの程度まで厳密な定義に従って、速度や加速度を求めれば良いのでしょう。
そのあたりについて、色々調べているのですが、例えば教科書の例題では
問「静止していた物体が時刻0から運動を始め、時刻1.5sには速度3.0m/sになった。この間の加速度を求めよ」に対して、解は、
a=3.0/1.5=2.0m/s^2
となっておりました。明らかにこの解は平均の加速度のことを言っていると思うのですが、どうなのでしょう？問題文の、「この間の」というのが「平均」を意味しているのでしょうか。しかし、解では単にaとなっているから、やはり瞬間の加速度の事を言っているのか、とも思ってしまい中々はっきりと理解出来ないのです。
また、知人に聞くと高校物理では微積は使わない、と言われたので、尚更定義に従いにくい。では、どうするのが最適なのだろう…となってにっちもさっちも行かなくなってしまいました。本当は身近な物理の得意な人に聞くのが良いとは思うのですが、中々時間が合わず困窮してます。
お力を下さい。宜しくお願い致します。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

最初に言いたいのは、余り悩まないで下さい、という事です。

　まず言葉の遊びみたいに聞こえるかも知れませんが、#1さんの仰るように、（問題には書かれていない）加速度一定という前提があるので、瞬間加速度は、「その間の」いたるところで平均加速度に等しくなり、a|＝aと考えて下さい。

　次に、問題が何故こんなに不親切なのか？ですが、次のような裏事情があります。ただし裏事情なので、以下のような事を答案に書いたら、減点される（事によったら×を食らう）可能性大です。

　十分短い時間間隔では、平均値の傾きを持つ1次関数で、いくらでも良く近似できるが、微分可能な関数の定義の本質です。近似度合いは時間間隔の短さで決まります。だから厳密には、［Δt→0］と数学的に理想化します。しかし十分短い時間間隔なら、十分良い近似だとも考えられる訳です。これが加速度一定の前提につながります。

　そうなると、1.5sは十分短い時間間隔なのか？という話になります。もちろん運動変化が激しければ、1.5sは長すぎるという結果にも成り得ますが、日常感覚で1.0sは十分短いので、「十分短いと暗黙に了解しろ！」という訳です。不親切ですけど・・・。

　最後に、

＞不規則(速度変化が単調でない)な運動に関しては、中々定式化するのが難しいと思います。定式化出来なければ、微分公式などを使うのは難しいと思います。

ですが、綺麗な数式で関数形が得られるケースは、実際上は稀です。しかしそれでも微積はできます。例えば1.5sごとに変位を測定してグラフにプロットし、プロットした点を折れ線でつなぎ、折れ線の傾きを、1.5s区間の中点における速度と考えます。その根拠は、「十分短い時間間隔では、平均値の傾きを持つ1次関数で、十分良く近似できる」です。つまり1.5sは十分短いと仮定した訳です。本当に十分かどうかは、後で検証します。

　とにかく上記のようにすれば、速度のグラフをプロットできます。同じように折れ線でつなぎ、加速度の折れ線グラフを得ます。そして加速度の折れ線を2回積分し（1次関数の2回積分）、変位の測定値と必要精度内で一致したら、1.5sにOKを出します。必要精度で一致しなかったら、さらに短い時間間隔で測定をやり直します。「必要に応じて」いくらでも精度を上げられる、という意味が、［Δt→0］には込められています。

　上記操作を放物運動に対して行ったら、速度グラフは単一の直線、加速度グラフは定数関数になるはずです。定数関数の2回積分は、変位の測定値と（測定誤差内で）正確に一致します。放物運動の2次関数も、このようにして発見されたと思った方が、本当は妥当です。

お礼

深入りし過ぎておりましたか…
裏がとれて少しホッとしました。ご回答ありがとうございました。

回答No.1

yoshi20a

＞「この間の」というのが「平均」を意味しているのでしょうか。

そう考えるしかないでしょうね。
瞬間加速度を求めようにも、この問題文では解けませんから。。。
加速度が一定という前提です。

お礼

早速のご回答感謝致します。
では解が平均の加速度であるとして、記号をa|(aの上にラインを引いている)を用いないのは何故でしょう。厳密に定義されているなら、記号も定義に従って示すべきではないかと思うのですが、このあたり何か暗黙の了解みたいなものってあるのでしょうか。

補足

恐縮ですが、出来れば個々の問題についてと言うよりは、一般的な考え方についてご教示下さると助かります。

例えば、平面上の運動一般に適用する微積を使わない瞬間の加速度や速度の求め方です。