複数の指数の和は再帰的な形に表せるのでしょうか？

質問

単指数、たとえば、
　　f(x) = (1-exp(-x/t) )
は、
　　f(x) = exp(-1/t) f(x-1) + 1 - exp(-1/t)
の形に直すことができますが、

複指数
　　f(x) = ( 1-exp(-x/t1) ) + ( 1-exp(-x/t2) )
は、再帰的には表せないのでしょうか？

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

何を「再帰的」と呼んでいらっしゃるのかよく分からないけれど、もしかして、

> 　　f(x) = exp(-1/t) f(x-1) + 1 - exp(-1/t)


がf(x)とf(x-1)以外にはxを含まない漸化式のような形をしている、ということでしょうか？だったら、

> f(x) = ( 1-exp(-x/t1) ) + ( 1-exp(-x/t2) )

の場合は、たとえば
　　f(x-1) = 2-exp(-x/t1)exp(1/t1)-exp(-x/t2)exp(1/t2)
　　f(x-2) = 2-exp(-x/t1)exp(2/t1)-exp(-x/t2)exp(2/t2)
からツルカメ算でexp(-x/t1)とexp(-x/t2)を求め、それを元の式に代入すればいいでしょう。

　なお、exp(x)は「指数」ではなく「指数関数」です。（「指数」は全く別の意味を持つ用語です。）また、「単指数」「複指数」「再帰的」などの我流用語はどこへ行っても通じませんので、およしになった方がいいですよ。

お礼

再帰的と呼んでいたのは、まさにそのことで、おかげさまで解決いたしました。
数学用語は英語を我流で書いてましたが、適切な日本語を学ぶとともに数学の学習を進めたいと思います。
ご助言本当に助かりました。ありがとうございました。