増加、減少を繰り返し数が収束する日常例

質問

一定量の増加、減少を繰り返し、数が収束（安定）する現象の日常例を探しています。
言葉だけだと分かりづらいですが、例えば

　毎年ある森林の10％の木を伐採し、1000本植樹する。
　この作業を繰り返すと●年後に、森林の木の本数が■本に安定する。

といった感じです。

グラフに表すと、http://www.fukuchan.ac/gazou-bbs/img/1305.png
URLにある、赤もしくは緑のグラフになる現象です。

今考えているのは鹿の駆除で、
「鹿は毎年個体数の15％ずつ個体数が増加するが、毎年●●頭を駆除し、何年か続けて数を安定させる」
というのを思いついたのですが、excellで計算しても数が安定しません。
他に思いついたのが
・飲食店の継ぎ足しのソース
・湖の水質汚染の浄化
・動物の繁殖
なのですが、計算がすぐ終わってしまったり、一定量の増加、減少が思いつかなかったりして、数が収束しませんでした。

出来ればexcellのような計算ソフトを使わないと計算が大変な数量のものを探しています。
何か他に良い例があれば教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

＞ロトカ・ヴォルテラ方程式は元々二種類の魚の個体数のモデルなんですが、「一定量の増加、減少を繰り返し」ませんし、そもそも「数が収束（安定）する現象」ではありません。定常解と周期解しかありませんから

はい，そうですね．
婉曲にNo.2さんと同じことをいってたわけです(^-^;

ぶっちゃけた話，減少・増加をある程度周期的に繰り返しながら
だんだん一定になっていくってのは
要は0にいたる減衰関数を平行移動させるだけ
つまりは
e^{-t}cos(t) + 1
なんかと本質的には大差はないんじゃないのかというのが最初の印象なんですが，
図をみるとぜんぜんそうじゃないじゃん！です．
この図だと，「1の分割」とかを構成するときの関数みたいだしーですね．

そして，「動物の繁殖」「植物の伐採と植林」みたいなサンプルがわざわざあがってて・・・
数理生物の話？人口動態モデル？
だったら，ロトカ・ボルテラとかマルサスのことをいいたいの？

となったのでした．

お礼

数理生物学の関係の本を読んだところ、自分が考えている鹿の駆除の方で、とても参考になるところがありました。
ですので、ベストアンサーはkabaokabaさんにしたいと思います。
解答してくださってありがとうございました。

回答No.4

stomachman

ANo.2へのコメントについて。

　増加と減少を別の原因によるものと考えていらっしゃるけれども、まずそれが適切かどうか。
　増加の原因Aと、減少の原因Bとがあって、これらが同時に作用する。そういうものはちっとも珍しくないでしょう。たとえば、穴のあいたバケツにホースで水を注ぐ、というのがこれです。増加要因と減少要因とが同時に作用すると、結果としては「一つの増加の原因（A-B）が作用している」ということに他なりませんから、大抵の場合、「増加と減少を繰り返す」という現象は発生しません。つまり、個別の原因に着目するより、「様々な原因の総合として、要するに増加・減少がどのように起こるのか」という観点で考える方がうまく行くんです。

　さて、増加と減少を繰り返すためには、第一に「増加量は、すでに在るものの量に依って異なる」という関係がなくてはなりません。しかし、ただ関係があるだけでも不足です。ものが多いほど増加が大きくなる、という関係(positive feedback)なら、ただどんどん増加する一方です。ねずみ算がこれに当たりますね。
　ものが大きいほど増加が小さくなる（だから、ものがある値以上に大きければ増加がマイナス、すなわち減少になる）、という関係(negative feedback)の場合、その「ある値」に届いていなければ増加、行き過ぎれば減少が生じる。だから増加と減少が繰り返し発生する可能性があります。たとえば自動車のハンドルを操作して道路をまっすぐ走るというのもこれです。（センターラインからの距離を「ものの量」と思えば良いのです。)それでも、必ずしも増加と減少が繰り返される（つまり蛇行が生じる）わけではありません。蛇行するのは、酔っぱらい運転の場合でしょう。
　酔っぱらい運転では、反応が遅いために、「ものが多い」ということの測定をすることと、測定結果に応じた「増加」を適用することの間に遅延がある。これが蛇行の原因になります。また、同じ蛇行でも、蛇行の振幅がどんどん大きくなっていく場合と、蛇行しながらもだんだん一定値に近づく場合がありますね。

　以上の見方は、増加（減少）が不断に発生し続ける現象に適用でき、一般に微分方程式で表せます。微分方程式の中でも最も簡単なのは「一階線形微分方程式」ですが、それでは蛇行が生じない。で、「二階線形微分方程式」
　　f''(x) + af'(x) + bf(x) = c
だと、上記の全ての現象が発生します。
　線形微分方程式はラプラス変換を使って非常に簡単に扱うことができます。しかし、線形でない微分方程式や、増加・減少が飛び飛びのタイミングで起こる差分方程式で表されるものの場合は話がだいぶ変わってきて、単なる増加・減少では済まない複雑な振る舞いもしばしば現れてきます。
　なお、線形微分方程式は古典制御理論において主役を務めます。なぜなら（ハンドルを操作するように）機械やプラントや電気回路を制御する時に、目標の値になるように素早く確実に蛇行せずに調節するにはどうすればいいか、というのが制御の目的だからです。なので、制御工学の教科書を入手なされば、ご質問のような現象のうちの最も単純なタイプ（線形微分方程式で表されるもの）について、統一された理論が学べるでしょう。

　というわけで、「酔っぱらい運転」はご質問の例のひとつになりそうですね。 →　http://pya.cc/pyaimg/pimg.php?imgid=5150

お礼

コメントを下さってありがとうございます。
参考になりました。

回答No.2

stomachman

> 一定量の増加、減少を繰り返し

とおっしゃるけれども、
森林の例は、増加は一定量だけれども、減少は一定量じゃない。
鹿の例は、減少は一定量だけれども、増加は一定量じゃない。
飲食店の継ぎ足しのソース：増加は一定量ではなく、容器いっぱいまで入れません？その量が「収束（安定）する」んなら、その店には客が誰も来ないということでしょう。
湖の水質汚染の浄化：これだけじゃ曖昧過ぎるけれど、おそらく「一定量の増加、減少を繰り返し」ではなさそうです。
動物の繁殖：これも「一定量の増加、減少を繰り返し」じゃないでしょう。

　というわけで、お挙げになった例がことごとく外れている「一定量の増加、減少を繰り返し、数が収束（安定）する現象」の話でいいのか、つまり、本当のご質問は何なのか、今一度お考え下され。

　なお、ロトカ・ヴォルテラ方程式は元々二種類の魚の個体数のモデルなんですが、「一定量の増加、減少を繰り返し」ませんし、そもそも「数が収束（安定）する現象」ではありません。定常解と周期解しかありませんから。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
stomachmanさんがおっしゃる通り「増加は一定量だけれども、減少は一定量じゃない」、
「減少は一定量だけれども、増加は一定量じゃない」ですね。
私の質問の仕方が間違っていました。申し訳ありません。
正確には「増加/減少が一定量だが、一定の割合で減少/増加もする」という事を言いたかったのです。
(この表現でも間違っていたらご指摘ください。)
また、アドバイスを頂けると嬉しいです。

回答No.1

kabaokaba

ロトカ・ボルテラの方程式（Lotka–Volterra equation）
というのはご存知ですか？

生物の増減とか森林の伐採とかのモデルですが，
丸善「数理科学辞典」とかにでていますが
数理生物学とかで調べると何か見つかるかもしれません．

あと人口動態のモデル方面で
マルサスのモデルとかヴェアフルストのモデル
とかもこの近辺の話題だったはず．

カオスとかの力学系の話題とか，確率過程の話題にも
この手のものがあるかもしれません