電磁気とベクトル解析について

質問

pは電気双極子モーメン,rを位置ベクトルトとして∇(p・r/|r|^3)をx,y,z成分に分解することなく、ベクトル解析の公式を用いて計算すると、どのようになるのでしょうか。どなたか教えてください。

回答No.2

heboiboro · ベストアンサー

すいません、「∇rはテンソル」という言い方は不適切でした（ベクトルもテンソルには違いないので）。

∇rと書いたのは二階のテンソル（要するに行列）で、ij成分が ∂ixj で与えられるものです（∂i = ∂/∂xi）。
∂ixj = δij ですので、これは結局単位行列（恒等変換）に他なりません。
その意味で ∇r = 1 と書きました（これも別の書き方にすべきだったかも…）。

これは一回成分表示で書いてみた方が逆に分かりやすいかもしれません。
∇(r・p) の第i成分は、
∂i(Σxjpj) = Σ(∂ixj)pj （和はjについてとる）
この右側の式を見ると分かるとおり、行列∂ixj をベクトルpに掛けた形になっています。
ですから ∇(r・p) = (∇r)・p となります（もちろんpが定ベクトルだから言えることで、pがrの関数ならpの微分も必要です）。

あと、∇・r=3 となるのは∇とrの内積（つまりrの発散）のときですね。

お礼

すみません。∇(r・p) = (∇r)・p は理解出来ましたが、「∇r = 1」になるところがまだ、分かりません。テンソルはまだ習っていないので、できれば、テンソルを使わず説明していただけないでしょうか。

回答No.1

heboiboro

∇(p・r/|r|^3)
= ∇(p・r)/|r|^3 + (p・r)∇(1/|r|^3)

∇(p・r)
= (∇r)・p　（∇rはテンソル）
= p　（∵∇r=1）

∇(1/|r|^3)
= -3/|r|^4 * ∇(|r|)
= -3r/|r|^5　（∵ ∇(|r|)=r/|r|）

よって、
∇(p・r/|r|^3)
= p/|r|^3 - 3(p・r)r/|r|^5

お礼

回答ありがとうございました。質問なのですが、「∇rはテンソル」で「∇r=1」というのはどういう意味なのでしょうか。通常は∇r=3だと思うのですが。