値域がy<-1、1<yとなる関数の例

質問

値域がy≧0となる関数の例は、y=√x

値域がy＞0となる関数の例は、y=2^x

値域がy≠0となる関数の例は、y=1/x

値域が-1＜y＜1となる関数の例は、y=(2/π)arctan(x)

値域がy<-1、1<yとなる関数の例（ただし、具体的なひとつの式での表示であり、一対一対応のもの）があればどうか教えてください。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

定義域が実数全体で、値域である|y|＞1と1:1に対応する「具体的なひとつの式での表示」というなかなか大変の例をむりくり作ってみましたよ。これです：

　　y = -max(-1,floor((x-|x|)/2)) (x-1) +
　　　　2(1-min(1,-floor(-x)))+
　　　　(1--max(-1,floor((x-|x|)/2))){
　　　　　　floor(1-(x-floor(x))) (x+2)+
　　　　　　(1-floor(1-(x-floor(x))) ) (x+1)}

　まずはその構造の説明。
　　y =
　　　　x＜0のとき、x-1
　　　　x=0のとき2
　　　　x>0のとき、
　　　　　　xが整数のとき、x+2
　　　　　　xが整数でないとき、x+1

　これはほとんどy=x+|x|/xなのだけれども、ただしx=0での値をy=2と決めた。すると、1:1対応という条件から、x=1のときy=2という訳には行かない。そこで、x=1のときはy=3とする。同様にして、xが自然数nであるときの値はn+2になっています。で、xが自然数でないときはx+|x|/x、つまり、x＞0ではx+1、x＜0ではx-1です。

　この関数を「具体的なひとつの式での表示」にするために、
　　floor(x) はガウス記号のことで、「xを越えない最大の整数」という意味。
　　-floor(-x)はx以上の最小の整数。
　　1-min(1,-floor(-x))はx=0のとき1, さもなくば0
　　floor(1-(x-floor(x))) は xが整数のとき1, さもなくば0
　　1-floor(1-(x-floor(x))) は xが整数のとき0, さもなくば1
　　(x+|x|)/2は x≧0のときx, x≦0のとき0
　　-max(-1,floor((x-|x|)/2))は x≧0のとき0, x<0のとき1
のような小道具をテキトーに使用。ま、数学じゃ普通に使う記号ですし。

お礼

ありがとうございます。
定義域が実数全体というのは特に想定していませんでしたが、そのような具体的な例を教えていただき感謝しております。

回答No.7

noname#152422

5番です。式の肝心な部分が間違っていたので、訂正して以下のものに差し替えお願いします。

-------------------------------------------------------------
y=((-1)^[x])[1+e^{-((-1)^[x])(x-(3/4)(2[x]-((-1)^[x])+1))+((-1)^[x])+1)/2}]

でどうでしょうか。

ここで、[x]のかっこはガウス記号、つまり[x]は、[x]≦x<[x]+1となる整数。

イイカゲンな説明としては、偶数の整数以上でその一つ上の整数（奇数）未満の部分を正の向きに”つなげた”のと、奇数の整数以上でその一つ上の整数（偶数）未満の部分を負の向きに”つなげた”ものというイメージです。

実数全体で定義できます。

回答No.6

pancho

何か皆さん難しい関数を持ち出していますね。

＞値域がy＞0となる関数の例は、y=2^x
を「y＞0」の例として質問者が例示しているのだから、

　1<yの例　：　y=2^x + 1
　y<-1の例　：　y=-(2^x + 1)

じゃダメなのかな？

以上。

回答No.5

noname#152422

y=-((-1)^[x])(x-(3/4)(2[x]-((-1)^[x])+1))+((-1)^[x])+1)/2

でどうでしょうか。

ここで、[x]のかっこはガウス記号、つまり[x]は、[x]≦x<[x]+1となる整数。

イイカゲンな説明としては、偶数の整数以上でその一つ上の整数（奇数）未満の部分を正の向きに”つなげた”のと、奇数の整数以上でその一つ上の整数（偶数）未満の部分を負の向きに”つなげた”ものというイメージです。

実数全体で定義できます。

回答No.3

stomachman

> 値域がy≧0となる関数の例は、y=√x

　定義域は非負実数だけですね。

> 値域がy≠0となる関数の例は、y=1/x

　これだと定義域から{0}が抜けてます。
　このように、定義域が実数全体でなくてもいいのなら簡単。既に回答出ているし、あるいは
　　y= (|x|+ 1)/x
とかでも。
　じゃ、「定義域が実数全体」という条件を付けたらどうか。「ひとつの式での表示」という（数学的にはイミがはっきりしない）条件を取っ払ったとしても、こりゃなかなか大変だな。

回答No.2

alice_44

定義域が連結でなくてもいいなら、
x＜-1, 1＜x 上で定義した関数 y = x
なんてどうかな。

全実数上で定義された連続関数では、無理。
定義域と値域の位相が違うから。

回答No.1

momordica

y=π/(2arctan(x))

単に
> 値域が-1＜y＜1となる関数の例は、y=(2/π)arctan(x)
の逆数とっただけですが。

お礼

ありがとうございます。確かにそうでした。気づきませんでした。