高1の数1を教えてください

質問

高1の数1を教えてください

回答No.1

soixante

設問が読みにくいのでいちおう確認。

2次関数f(x)=-x^2+4x+1 の　0≦x≦aにおける最大値をM(a)とする。

でいいのですかね。

まずできることからやりましょう。

f(x)のグラフ書かないと始まらないですよね。　

f(x)=-(x^2-4x)+1
=-{(x-2)^2-4}+1
=-(x-2)^2+4+1
=-(x-2)^2+5

x=2 を軸として、上に凸、頂点（2,5)。　
y軸との交点は、x=0を代入すればわかりますね。(0,1)
x軸との交点は、f(x)=0を解けば得られる。x=2±√5　　つまり、（2-√5,0),(2+√5,0)

さて準備ができました。

0≦x≦a の最大値と言っています。
aは変わるわけです。aを0から始めて右に広げていってみる。
たとえば、
0≦x≦1 だったら最大値は？　　f(1)ですよね。
0≦x≦2　だったら最大値は？　　f(2)ですね。
0≦x≦3　だったら最大値は？　　f(3)？　いや違う。f(2)ですね。
0≦x≦4　だったら最大値は？　　f(4)？　いや違う。やっぱりf(2)ですね。

つまりは、aが0から2に至るまでの間は、M(a)=f(a)=-a^2+4a+1 なわけで、
aが2を超えたあとは、aがいくつになろうが、最高値の5のまんまで変わんないわけです。
aが仮に100だったら、0≦x≦100　となりますが、最大値は5ですよね。

よって
0≦a≦2 のとき　M(a)=f(a)=-a^2+4a+1
a>2のとき　　　M(a)=5

2番目の問題はこれをグラフ化するだけです。

とにかく手を動かしていろいろ考えてみましょう。グラフが書ければいろいろ見えてくるはずです。