フーリエ変換の公式の違い

質問

フーリエ変換の公式で、積分の前に1/√2πをつけるものと付けないものがあります。

違いを習ったことはあるんですが、どういう違いがあったのか忘れてしまいました。
調べましたが、見つけれなかったので教えてください。

回答No.4

info22_

#3です。

A#3の補足の質問について

>>式の中の積分変数の物理的意味は無視（意味を持たせない）されます。

>ということは、1/√(2π)を掛けて計算で得られるものは、真のフーリエ変換したものでは
>ないということでしょうか。物理的意味を無視して、数学的意味だけ知りたいときに
>使う式なんでしょうか。

どちらにも言い分がありますから、式の対称化し式の綺麗さを追求したり、変数の規格化（無単位化）することを志向するのは数学屋の立場です。物理的な実用的な意味を排除して規格化して式の綺麗さや対称性や正規化スペクトルの数学的意味を追求するときに使います。

>>もう１つの低儀式は、工学分野や物理分やで多く使われ,定義式の中の積分変数に
>>物理的意味（変数には具体的な物理単位[s]や[rad/s]が存在）を持たせ、
訂正：「低儀式」は変換ミスです。正しくは「定義式」です。

>1/√(2π)を掛けないフーリエ変換の式が物理的意味も数学的意味も兼ね備えた式だということでしょうか。

そうです。物理的や工学的な実用性を重視したフーリエ変換の定義式では時間積分tの方には係数を付けない定義式を用い、角周波数ωによるフーリエ逆変換では係数1/(2π)を付けた定義式を用い、周波数fによるフーリエ逆変換では係数を付けない定義式をもち活かす。角周波数ωと周波数fの間にはω=2πfの関係があります。

フーリエ変換、逆変換の対の定義式は３通りあります。
(A)両方の定義式に1/√(2π)を掛ける定義式。　

(B)フーリエ変換の定義式には係数を掛けないで
(B-1)逆変換はωによる積分の定義式では係数「1/(2π)」を掛ける定義式。
(B-2)ω=2πfの関係を使ってdω=2πdfの関係を使って導かれた
　　逆変換はfによる積分の定義式では何も掛けない定義式。
　（2πが約分で消える）
ということになります。この場合はフーリエ変換対の定義式には係数が何も付かないため対称性があり、綺麗な定義式といえます。変数t,fには実用的な物理単位[s]と[Hz]が付きます。

(B)の２通りは変数は物理単位を持つ物理的、工学的に実用的なフーリエ変換対と言えます。(A)は数学的な対称性を重視したフーリエ変換対と言えます。

参考URL：

http://hooktail.sub.jp/fourieralysis/Fourier/

回答No.3

info22_

>教科書には「対称性を重視して√2πをかけてもいい。」
>と書いてるんですが、対称性とはグラフの対称性でしょうか。

グラフの対称性ではなく、
フーリエ変換の変換式と
フーリエ逆変換の変換式
の形が同じ形の式になるという意味(両方の式に同じ1/√(2π)の係数を掛ける)での
式の対称性を指します。
この対称性は式の美しさや統一性や規格化などを重視する数学者などが好んで使う傾向にあります。式の中の積分変数の物理的意味は無視（意味を持たせない）されます。

もう１つの低儀式は、工学分野や物理分やで多く使われ,定義式の中の積分変数に物理的意味（変数には具体的な物理単位[s]や[rad/s]が存在）を持たせ、フーリエ変換式の方は係数が1で積分変数tの単位は秒[s],フーリエ逆変換の係数は「1/(2π)」で積分変数ωの単位は[rad/s]で角速度の単位を持ちます。ω/(2π)=fは周波数[Hz]の単位となります。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

>式の中の積分変数の物理的意味は無視（意味を持たせない）されます。

ということは、1/√(2π)を掛けて計算で得られるものは、真のフーリエ変換したものではないということでしょうか。物理的意味を無視して、数学的意味だけ知りたいときに使う式なんでしょうか。

>もう１つの低儀式は、工学分野や物理分やで多く使われ,定義式の中の積分変数に物理的意味（変数には具体的な物理単位[s]や[rad/s]が存在）を持たせ、

1/√(2π)を掛けないフーリエ変換の式が物理的意味も数学的意味も兼ね備えた式だということでしょうか。

回答No.2

Tacosan

フーリエ変換と逆変換の公式を見れば「対称性」の意味が分かるでしょう.

回答No.1

rinkun

Wikipediaの「フーリエ変換」の項で、「その他の定義」あたりに色々な定義が載っている。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B

周波数で見るか角周波数で見るか、およびユニタリ変換にしたいかどうかの問題だと思う。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

Wiki読みました。
非ユニタリとユニタリの違いとはなんなんでしょうか。
求めるものに√2πをかけることで、数字に違いが出ます。

教科書には「対称性を重視して√2πをかけてもいい。」
と書いてるんですが、対称性とはグラフの対称性でしょうか。