数学 確立の問題を教えて下さい。

質問

スタート地点から左右に進む確立が50％だとした場合、右の１マス目と左の３マス目へ到達する確立なのですが、私の行った考え方は以下です。これを計算式にあらわすとどうなるのでしょうか？そもそも考え方じたい間違っていましたら訂正箇所教えて下さい。よろしくお願いします。

左３マス目ーーーーーーー↑１２，５％
左２マス目ーーーー↑２５％ーーーーー↑６，２５％
左１マス目ー↑５０％ーーーー↑１２，５％ーーーーー↑３、１２５％ー
ＳＴＡＴーーーーーー↓２５％ーーーーー↓６，２５％ーーーーーーーー
右１マス目ー↓５０％ーーーー↓１２，５％ーーーーー↓３，１２５％ー

※行の関係上抜けている箇所あります。

この作業を永遠と書いていき、最終的に上下それぞれパーセンテージを足したとき、１００％になるのでしょうか・・・。だいたいの結果として左３マス目に到達する確立は２５％、右１マス目に到達する確立は７５％ではと思っています。簡単にでる公式などあるのでしょうか・・・。

回答No.7

MagicianKuma · ベストアンサー

公式という意味では、左側吸収ポイントa（例では3）、右側吸収ポイントb（例では1）とすると
P(a) = b/(a+b) = 1/4 aに吸収される確率
P(b) = a/(a+b) = 3/4 bに吸収される確率
です。

お礼

1/3+1
3/1+3

1/4
3/4

すごいです。これがパッとでる公式ですね。
ありがとうございました。
みなさんありがとうございました。

回答No.6

nag0720

こういう問題はバリエーションがありすぎて、公式はたぶんないでしょう。

公式ではないですが、こういう問題の解き方を。

左のマス目から順にA,B,C,D,Eとし、n回進んだときに到達する確率をA(n),B(n),・・・と表すことにします。

初期値は、
A(0)=0
B(0)=0
C(0)=0
D(0)=1
E(0)=0
漸化式は、
A(n)=B(n-1)/2
B(n)=C(n-1)/2
C(n)=B(n-1)/2+D(n-1)/2
D(n)=C(n-1)/2
E(n)=D(n-1)/2

これを解けば、
A(2n)=0　(n≧0)
A(1)=0
A(2n+1)=(1/2)^(n+2)　(n≧1)
E(2n)=0　(n≧0)
E(1)=1/2
E(2n+1)=(1/2)^(n+2)　(n≧1)

合計確率は、
Σ[n=0・・・∞]A(n)=1/8+1/16+1/32+・・・・=1/4
Σ[n=0・・・∞]E(n)=1/2+1/8+1/16+1/32+・・・・=3/4

なお、質問文の中の数値は間違っていますので。正しくは、
左３マス目ーーーーーーー１２，５％
左２マス目ーーーー２５％ーーーーー１２，５％
左１マス目ー５０％ーーーー２５％ーーーーー６、２５％ー
ＳＴＡＴーーーーーー２５％ーーーーー１２，５％ーーーーーーーー
右１マス目ー５０％ーーーー１２，５％ーーーーー６，２５％

お礼

ありがとうございました。
結構難しいんですね・・。

回答No.5

noname#175206

お礼、ありがとうございます。#1他です。

>えっと、50％と12,5％で残り37,5％足らないような・・・。

　残りの37.5％は他に行ってしまう、つまり「右端1段目でも左端3段目でもない所」へ行ってしまう確率です。
　最初に右に行けば、そこでストップして終了。これには、その後行く可能性があった3段目までの確率が足し合わされて、50％になっています。

　最初に左に行った場合は3段目まで行くと想定しています。つまり3段目の左端以外があります。そこへ行く確率が37.5％です。

　この問題はランダムウォークというご指摘が出ていますが、その通りです。私は歩くのもデタラメなほど酔っぱいが歩いている、という見方で、千鳥足問題などと呼んでいました(^^;。

　それを数式化するモデルとして、お考えの1次元では、パスカルの三角形が使えるということですね。紀元前の昔から研究され、今も続いています。n回目などと一般化して取り組むには、それなりに覚悟が要るかもしれません（私は逃げました^^;）。

　もし思考実験モデルを、私が勘違いしていましたら、補足で仰せつけくださいますと、私の考えられる範囲で考え直してみます。

お礼

たくさん回答頂きありがとうございました。
公式らしきものまで計算して頂いた方がいらっしゃったので、そちらにベストにしてしまいます。ちょっと心苦しいですが・・・。またお願いします。感謝しております。

回答No.4

nag0720

こういう問題をランダムウォーク理論といいます。

特に、質問の問題のようなものは、「吸収壁のある１次元ランダムウォーク」と呼ばれます。
左右の壁に当たったときに止まるのではなく反対側に戻る場合は、「反射壁」といいます。

１次元のランダムウォークは漸化式を作れば解けますが、考え方としては質問者さんの方法と大差ないでしょう。

答は左３マス目２５％、右１マス目７５％で合っています。

お礼

ありがとうございました。どちらかに必ずいくというルールで、しかも一度でも左三段目にいったら反射せず、一度でも右一段目に行ったら反射しないというルールということで、25％の７５％ということですね？ありがとうございました。

公式などどなたかご存知ないでしょうか？

回答No.3

NNori

ううむ、むずかしいなぁ

まず右１マス目に到達する確率を求めると、
１回で到達する確率
右　　　５０％

３回で到達する確率
左右右　１２．５％　(1/2)^3

５回で到達する確率
左左右右右　(1/2)^5
左右左右右　(1/2）^5

７回で到達するには、
左左左右右右右　　(1/2)^7
左右　がでてからさっきの５回で到達パターン

おぉ、なんか規則でてきたじゃん。がんばれ！！

２．左３マス目に到達する確率
うーむ、わからん。

お礼

何か規則性がありそうですね。
ありがとうございます。

回答No.2

noname#175206

お礼、ありがとうございます。#1です。

>右一段目と左三段目、どちらかに必ず行かなければいけないとした場合は、左右の確立はいくつ

　端ということでいいでしょうか。そうだとして、それには、3段目に注目して比較します。3段目以前で止まるにしても、仮に3段目まで行くとしたら、経路が幾つかを考えます。

　右端1段目から3段目に行けるのは、1＋3＝4経路で、左3段目は1経路です。3段目の経路は全部で、1＋3＋3＋1＝8経路です。

　ですので、右端1段目に行く確率は、4/8＝1/2＝50％、左端3段目に行く確率は、1/8＝12.5％です。

お礼

再びありがとうございます。
えっと、50％と12,5％で残り37,5％足らないような・・・。
どちらかに必ずいくというルールで、しかも一度でも左三段目にいったら反射せず、一度でも右一段目に行ったら反射しないというルールです。わかりづらく申し訳ないです。

回答No.1

noname#175206

パスカルの三角形と呼ばれるものでしょうか？　Y字路の先にY字路が延々と続いているようなものです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2

　上記、ウィキペディアにはそれが10段の場合が書かれています。最下段、及び途中に書かれている数は、そこにたどり着ける経路の数です。
　最下段でしたら、並んでいる数字を全部足したものが、10段目まで来る経路の総数です。
　それで各々の場所に書かれてある、そこへの経路の総数を割ってやれば、Y字路で左右を1/2の確率でランダムに選んだ場合の到達確率が計算できます。

　ご質問の内容は、上記と同じでしょうか？

お礼

早い回答ありがとうございます。おそらくこれだと思うのですが、右一段目と左三段目、どちらかに必ず行かなければいけないとした場合は、左右の確立はいくつになるのでしょうか・・・。