期待値とい確率について

質問

ガチャ形式のサービスで、
全種類をコンプリートするまでの期待値（金額）を
エクセルで表すにはどうすればよろしいでしょうか。
ご教示いただけましたら幸いです。

■詳細
・単価：　\300
・全種類：9個

・確率
A　　　　　20.0%
B　　　　　20.0%
C　　　　　20.0%
D　　　　　20.0%
E　　　　　　6.5%
F　　　　　　6.5%
G　　　　　　6.0%
H　　　　　　0.5%
I　　　　　　 0.5%
--------------------
合計　　100%

回答No.2

nag0720

＃１です。式が間違っていました。

正しい漸化式は、

P(n,ADGI)=P(n-1,ADGI)*{P(1,A)+P(1,D)+P(1,G)+P(1,I)}
　　　　　　+P(n-1,ADG)*P(1,I)+P(n-1,ADI)*P(1,G)+P(n-1,AGI)*P(1,D)+P(n-1,DGI)*P(1,A)

です。

なお、この式は、何回ガチャガチャをやってもそれぞれの出る確率が変わらないと仮定した場合です。

実際には、１回やるごとに中に入っている数が減るためそれぞれの出る確率は変わります。

回答No.1

nag0720

エクセルでやるなら、漸化式を立ててセルに入れる方法ですかね。

ガチャガチャをn回実行したとき、例えばADGIが揃う確率をP(n,ADGI)のように表せば、

P(n,ADGI)=P(n-1,ADGI)*P(1,A)*P(1,D)*P(1,G)*P(1,I)
　　　　　　+P(n-1,ADG)*P(1,I)+P(n-1,ADI)*P(1,G)+P(n-1,AGI)*P(1,D)+P(n-1,DGI)*P(1,A)

というような漸化式になります。
この式をセルに入れればいいんですが、その数は2^9=512種類もあるから入力するだけでも大変です。

コンプリートする回数の期待値は、
Σ[n=9・・・∞]n*{P(n,ABCDEFGHI)-P(n-1,ABCDEFGHI)}
となります。