中学１年数学 方程式の応用

質問

わかるかた教えて下さい。
中学１年の数学、方程式の応用で次のような距離・速さ・時間の問題の解き方がよくわかりません。参考書にて考え方を参考にしたのですが、答えを導き出すまでの考え方がうまくできません。
問題を記載しますので、こう考えたら良い、またこの手の問題を考える場合共通してこう考えたらよいとおわかりの方がいらっしゃったらぜひ教えて下さい。

(1)Ａ市からＢ市まで、毎時１０kmの早さの自転車で行くとすると、毎時６０kmの自動車で行くよりも１時間半よけいにかかる。A、B間の距離はいくらでしょう？(答え)18km

(2)時速40kmの自動車が、1時間前に出発したトラックを追いかけたところ、出発後ちょうど3時間で追いついた。トラックの速さはいくらですか？(答え)時速30km

回答No.5

fushigichan · ベストアンサー

nop007さん、こんにちは。
いくつかアドバイスが出ていますが、

＞「共通となる距離や時間」とは(1)の場合は距離で(2)の場合も距離でいいのですか？
「共通」というのは片方と片方の中で同じ数量のことをいうのでしょうか？

共通となる、という意味がちょっと分かりにくいですが
式を立ててみたときに、イコールで結ばれるもの、という意味でしょうか。
ちょっと、実際問題を見てみたいと思います。

＞(1)Ａ市からＢ市まで、毎時１０kmの早さの自転車で行くとすると、毎時６０kmの自動車で行くよりも１時間半よけいにかかる。A、B間の距離はいくらでしょう？(答え)18km

これは、ＡＢ間の距離をｘキロメートルと置いてしまいましょう。
毎時１０キロメートルの自動車で、ＡＢ間を走ると、
それにかかった時間は（ｘ÷１０）時間　となりますね？
一方、毎時６０キロメートルの自動車で走ると
ＡＢ間にかかった時間は（ｘ÷６０）時間　となります。
（ｘ÷１０）時間のほうが、（ｘ÷６０）時間よりも１時間半多いのですから

（ｘ÷１０）＝（ｘ÷６０）＋１．５

という式が成り立ちますね。
イコールで結ばれているのは、時間ですね。
これを解いて
６ｘ＝ｘ＋９０
５ｘ＝９０
ｘ＝１８
となって、ＡＢ間の距離が１８キロメートルと出ます。
この問題のように、「求めたいもの」をｘとおくと
ダイレクトに答えが求められます。

＞(2)時速40kmの自動車が、1時間前に出発したトラックを追いかけたところ、出発後ちょうど3時間で追いついた。トラックの速さはいくらですか？(答え)時速30km

これも、求めたいものがトラックの時速ですから
トラックの時速を、毎時ｘキロメートルとします。
自動車が出発したときには、トラックはもう１時間すでに走っていました。
その時点から、３時間後に追いついたのですから、
トラックはトータルで４時間走っていますね。
毎時ｘキロメートルで４時間ですから、４ｘキロメートルの場所にいます。

これを追いかけた自動車は、３時間で４ｘキロメートルを走ったことになりますね。
自動車の時速は毎時４０キロメートルですから
４０×３＝４ｘ（４０かける３は４エックス）

という式ができます。
イコールで結ばれているのは、ここでは距離になっていますね。
（トラックと自動車は、スタート地点から同じ距離のところで追いつかれるので
共通のものは、距離だと考えたらいいです）

ｘ＝３０
となって、トラックの時速は毎時３０キロメートルと出ます。

これらのように、「求めたいもの」をｘとおくのが分かりやすいですよ。
何か分からない点がありましたら、補足してください。頑張ってください！

回答No.7

kony0

「求めるものをxとおく」派があまりに多いので、自分的補足^^;

個人的には、「中1の、1つの文字をつかって1つの式を使って解いていく方程式の文章題」の問題だと、結果的に「求めるものをxとおく」ことで、素直に解けてしまうことが多い・・・と思っています。

ただし、「わからないものを文字でおく」という発想は中1ではじめて文字式を扱う上で、きわめて重要な概念であり、「求めたいもの＝わからないもの＝文字でおく」ということ自体、非常に重要なポイントだと思っています。
（ここは本当に重要！1つ下で私が言った「結論から言うと」とはずれていますが・・・）

ただし、求めるものを機械的にxとおくことだけが正しい解法ではないことは知っていただきたいと思います。

むしろ重要なのは、なにを文字でおくかにこだわるのではなく、文章の中に
「自転車の距離＝自動車の距離」
「自転車の時間＝自動車の時間＋1時間半」
という関係（算式）が隠れていることを読み下し、式で表現する（私は、英語の勉強をするのに、英語→日本語に訳すのと同じ発想で「日本語→数式への翻訳」といっています）ことが重要と思います。

（ここから先は、ご質問の内容からはずれてしまうので、読み飛ばして頂いても結構ですが）必ずしも「求めるものを文字でおく」だけでは、途中の式が極めて複雑になってしまうことも、非常に難しい問題（特に、仕事算、ニュートン算など）ではありえます。

回答No.6

kony0

(1)だけ。

結論からいうと、文字をおくのは距離でも時間でもどっちでもよいです。

私的理論では、「距離・速さ・時間の３つのうち、（文字式を含めて）２つわかれば３つめのものが計算できる。→その３つめのものについて式を立てる」というプロセスです。

この問題では速さはすでにわかっている。（３つの要素のうち１つめは自明）

（思考1）距離を文字でおこう！
→どの距離を文字でおく？→AB間の距離しかない。
→AB間の距離をx(km)とおく。（２つめもわかった）
→自転車はx/10(時間)、自動車はx/60(時間)かかる。（３つめを計算した）
→時間について式を立てよう！
→どんな式？→自転車の時間＝自動車の時間＋1時間半
→x/10=x/60+3/2（以下略）

（思考２）速さを文字でおこう！
→どの速さを文字でおく？→自動車の時間がわかれば、自転車の時間はそれ＋1時間半
→自動車のかかる時間をx(時間)とおく。
→自転車のかかる時間はx+3/2(時間)（２つめがわかった）
→距離（３つめ）を求めよう。
→自動車：60x(km)、自転車：10(x+3/2)(km)
→距離について式を立てよう！
→どんな式？→両方ともAB間の距離だから、イコールじゃないか！
→60x=10(x+3/2)（以下略）

という感じです。

回答No.4

noname#165597

snoopyloveです。

＞「共通となる距離や時間」とは(1)の場合は距離で(2)の場合も距離でいいのですか？

(1)の場合は時間
(2)の場合は距離です
共通の分かっている答え、または手がかりとなる数値を見つけます。

＞「共通」というのは片方と片方の中で同じ数量のことをいうのでしょうか？
もうちょっと詳しく・・・説明をください。

＞さらに、何をXとおけばいのかの考え方はどうすればいいのでしょうか？
(1)なら、問題文中の「A、B間の距離はいくらでしょう？」つまり距離をXとおく。最後に必ず出さなきゃいけない数値をXとしますよ。

回答No.3

Ichitsubo

求める量を x と置くのが鍵となります。

(1)A-Bの距離をxとすると、
10 km/hで行ったときにかかる時間は　x / (10 km/h)
60 km/hで行ったときにかかる時間は x / (60 km/h)
自転車で行ったときにはよけいに時間がかかっていて1.5時間よけいにかかりますから、
x /(10 km/h) - x /(60 km/h) = 1.5 h
両辺に60 km/hをかけて
6x - x = 90 km
よって x = 18 km

(2)同様に、トラックの速度をyと置くと、
40km/hで3時間走った自動車の移動距離と
yで4時間走ったトラックの移動距離が同じになりますので
4y = (40 km/h) * 3h
4y = 120 km
y = 30 km

最初に行ったことの繰り返しですが、求める量をxと置く。事はすべてこれから始まります。

回答No.2

noname#165597

時間×速さ＝距離なので・・・
時間はｔとすると・・・距離はｙ・・・として

自転車は、１時間半余計に掛かるので、クルマより１.５時間掛かるのでこれに加算して（ｔ＋１.５）×１０＝ｙ

ｔ×６０＝（ｔ＋１.５）×１０

ｔを出す
１５/５０＝３/１０

このｔ＝３/１０を
自動車は、ｔ×６０＝ｙ
に代入。

２、は

走った時間３×時速４０＝距離１２０

トラックはといと1時間前に出発したので４×？＝追いついたといことは自動車と同じ距離を走っているので距離１２０

走った時間３×時速４０＝４×？
と置けます
？＝３０

・・・解き方のコツ

図にしたいけどここではうまく描けない(*^_^*)

　　距離
━━━━━━
速さ｜時間
　　　｜

わかるかなあ？これの関係が・・・
それぞれの「位置」が掛け算、割り算の関係になっています。
速さ×時間＝距離
距離/時間＝速さ
距離/速さ＝時間
見たことありませんか？(*^o^*)

回答No.1

ADEMU

１．ＡＢの距離をｘとすると
ｘ／１０＝ｘ／６０　＋１．５

２．トラックの時速をｘとすると
４０×３（時間）＝ｘ×（４時間）
自動車が３時間かけて走った距離とトラックが４時間かけて走った距離が等しいと考える。

基本的に、共通となる距離や時間を見つける。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
「共通となる距離や時間」とは(1)の場合は距離で(2)の場合も距離でいいのですか？
「共通」というのは片方と片方の中で同じ数量のことをいうのでしょうか？
さらに、何をXとおけばいのかの考え方はどうすればいいのでしょうか？