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導関数の応用の問題です
２つの曲線ｙ＝ｘ^(２)＋２、ｙ＝ｘ^(２)＋aｘ＋３の交点をPとする。Pにおけるそれぞれの曲線の接線が垂直であるとき、定数aの値を求めよ。 宜しくお願いします
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次の3つの手順で計算を進めてみてください。 教科書などを見ながら。 それで分からなかったら、解きかけの計算などをコメントに書いてください。 1.2曲線の交点のx座標を求める（aを含んだ式で表せるはず） 2.xが上の値であるときの、2曲線それぞれの接線の傾きを計算（微分） 3.2直線が直行する条件は？（確か傾きと傾きを掛け算すると…）
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- alice_44
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既に、模範解答が書かれてしまっていますが… A No.1 の手順に沿って、自分で考えてみることは 大切と思います。 (不完全な)自解答を書いて、添削を受けてみると、 類題を自力で解けるようになる可能性が生じます。
お礼
ありがとうございます 分かりました
- asuncion
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#3です。 (1)式より、点P(p, p^2+2)における接線の方程式は y-p^2-2=2p(x-p) y=2px-p^2+2 … (4) (2)式より、点P(p, p^2+ap+3)における接線の方程式は y-p^2-ap-3=(2p+a)(x-p) y=(2p+a)x-p^2+ap+3 … (5) このあたりはやや冗長でありまして、接線の方程式の傾きだけに着目すれば なおよかったと思います。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2127/6289)
ｙ＝ｘ^(２)＋２ … (1)式 ｙ＝ｘ^(２)＋aｘ＋３ … (2)式 点Pの座標を(p, q)とする。 (1)式より、q=p^2+2 (2)式より、q=p^2+ap+3 右辺は相等しいので、ap=-1 … (3) (1)式より、点P(p, p^2+2)における接線の方程式は y-p^2-2=2p(x-p) y=2px-p^2+2 … (4) (2)式より、点P(p, p^2+ap+3)における接線の方程式は y-p^2-ap-3=(2p+a)(x-p) y=(2p+a)x-p^2+ap+3 … (5) (4)(5)が直交するので、2p(2p+a)=-1 4(p^2)+2ap=-1 (3)式とあわせて、4(p^2)=1 p=±1/2 (3)式に代入して、a=±2 正しいかどうかはわかりません。
- spring135
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ｙ＝ｘ^(２)＋２ (1) ｙ＝ｘ^(２)＋aｘ＋３ (2) 交点はこれらを連立して ax+1=0 a=0のときは(2)はy=x^2+3となり (1)を1だけ上に平行移動したものとなり 交点はない。 よってa≠0とする。交点のx座標は (-1/a, 1/a^2+2) この点における(1)の接線の傾きは y'=2x=-2/a (3) この点における(2)の接線の傾きは y'=2x+a=-2/a+a (4) (3)(4)が直交することから (-2/a)(-2/a+a)=-1 整理して a^2=4 a=±2 a=2のとき（2）は y=(x+1)^2+2 (5) a=-2のとき(2)は y=(x-1)^2+2 (6) (5),(6)は（1）を左右に1平行移動したものであって グラフを描けば明らかなように解となる。 答えa=±2
お礼
ありがとうございます 分かりました