二次方程式の解き方（判別式などの条件について）

質問

Ｘ（^2）－２ａｘ－ａ＋２＝０の２解がともにー１より大となるような
ａの値の範囲を求めよ。

　という問題ですが、２解がある＝Ｄの判別式は０より大きくなりますよね、
　その際下に＝がつく場合とつかない場合があるような気がするのですが
　どのように区別すればいいのでしょうか？
　（そもそも、＝は、その数字を含むかどうかという事はわかるのですが
　二次方程式についてはいまひとつ理解が出来ていません。）

　そして、いつも出てくる　ｆを代入する、（今回は－１ですが）
　ｆ（－１）＞０、いつもそう書いてあるのでそのまま代入していますが
　この意味合いはわかりやすく言うとどういう意味なのでしょうか？

　あと、軸＞－１　です、これがそもそもー１より大きければ必ず
　２解はー１であるということなのでしょうか？

　あまりに無知で恥ずかしいのですが周りに聞く人がいません。
　どなたかご教授ください。
　よろしくお願いします。

回答No.2

eco1900 · ベストアンサー

Ｘ（^2）－２ａｘ－ａ＋２＝０の２解がともにー１より大となるような
ａの値の範囲を求めよ。

　という問題ですが、２解がある＝Ｄの判別式は０より大きくなりますよね、
　その際下に＝がつく場合とつかない場合があるような気がするのですが
　どのように区別すればいいのでしょうか？

●一般に２次方程式の場合、解は２つでますね。そして、それらの二つの解が「異なる場合（判別式D＞０）」と「同じ場合（重解）（判別式D＝０）」と更に細かく分類されます。
この【問題】では、単に「２解」ということなので、上の２通りの場合をどちらにも言及しているとこいうことになりますね。だから、「判別式D≧０」と両者の条件について考えなければならないということです。＊仮に【問題】に「異なる２解」などという表現の場合は、言うまでもなく「D＞０」だけを条件とするということになります。

　そして、いつも出てくる　ｆを代入する、（今回は－１ですが）
　ｆ（－１）＞０、いつもそう書いてあるのでそのまま代入していますが
　この意味合いはわかりやすく言うとどういう意味なのでしょうか？

●fを代用している書き方についてですが、これは簡単に言えば「２次方程式の左辺」をひとまず「ｘの関数としてとらえている」ということです。従って、f(x)の形からｆ(－１)という場合は、おっしゃる通り単なる代入操作と考えてかまいませんが、次のf(－１)＞０というのは、「左辺とｘの関数ととらえて一旦ｆ(x)とし、次にx＝－1の場合のy座標が「＞０とならなければならない」を意味します。　
なぜ、x＝－１の場合のy座標が「＞０」とならなければならない？といことは、f(x)をグラフ化した場合（実際に概形でも結構ですので紙に書いて考えてほしい）、そうなるのは明白でしょう。＊今回の問題式では、「f(x)＝x^2－2ax－a＋2」より、グラフ概形にすると下凸形となります。

あと、軸＞－１　です、これがそもそもー１より大きければ必ず
　２解はー１であるということなのでしょうか？

●こちらの「質問」の表現は、少し解釈の仕方が誤っていますよ。「・・・必ず２解は－１である」というのではなく、軸が－１よりも大きい（軸＞－１）でなければ、（こちらもグラフ概形から）f(x)は少なくともx＝－１の右側で交わることはないからです。
　あまりに無知で恥ずかしいのですが周りに聞く人がいません。
　どなたかご教授ください。

以上、簡単ではありましたが、質問者さんの疑問はいずれも「グラフ概形」をそばにして考えるとどれももっと明白になるので、視覚的にもグラフ概形をそばに書いて考えてみるといいと思います。

お礼

正直グラフの必要性が今ひとつよくわからないのですが
もう少しゆっくり考えてみて見ます。
とてもわかりやすかったです、ご丁寧にありがとうございました＾＾

回答No.3

FT56F001

>ｆ（－１）＞０、いつもそう書いてあるのでそのまま代入していますが
>　この意味合いはわかりやすく言うとどういう意味なのでしょうか？
>　あと、軸＞－１　です、これがそもそもー１より大きければ必ず
>　２解はー１であるということなのでしょうか？

このあたりは，グラフを描くのが手っ取り早いです。
判別式D>0としてニ根がある，下に凸の放物線である。
という条件で，
f(x)=x^2－２ａｘ－ａ＋２のグラフを書きます。

(a)ニ根とも-1より大きい
(b)一根は-1より大きく，一根は-1より小さい
(c)ニ根とも-1より小さい
の三つの場合です。

(a) f(-1)>0，軸は-1より右
(b) f(-1)<0
(c) f(-1)>0，軸は-1より左
という条件で，放物線を図のような形に置くことができます。

頭の中だけで考えるのが難しければ，
針金で放物線のオモチャを作るか，
裏がすける紙に放物線を描いて，
座標軸を描いたグラフ用紙の上で動かしてみてください。

お礼

軸がー２より大きいと必ず2解もー２より大きくなるということですね。
ありがとうございました＾＾

回答No.1

noname#139365

判別式の場合
異なる２つの解を持つ時>0
重解の時=0
になります
よってD≧0は２つの解（重解を含む）の時のことを言います

例えば２次方程式
x^2-3x+2=0は
２つ解x=1,2を持ちますが
この判別式D=9-8=1>0になります
また
x^2-4x+4=0だと
重解x=2を持ちますが
判別式D=16-16=0になります

２つの解がともにx>-1ということは
２つの解をα、βとすると
(α+1)(β+1)>0ということなので
f(x)=x^2-2ax-a+2とすると
α+β=2a,αβ=-a+2から
(α+1)(β+1)=αβ+α+β+1
=-a+2+2a+1
=a+3>0となり
これは
f(-1)=(-1)^2+2a-a+2
=a+3>0と同じことになります

今回の場合この方程式は
f(x)=x^2-2ax-a+2
=(x-a)^2-a^2-a+2
と変形でき
これをグラフにすると頂点(a,-a^2-a+2)で下に凸になるので中心はx=aになります
２つの解がx>-1ということは
x>-1よりxが大きい値でx軸で２点で交わらないといけないのでx=aは必ずx>-1のところにないと２つの解はx>-1になりません

お礼

私の書き方が間違っていました、
この条件はそのまま使っていいのですね、
うまく表現できませんが自分なりには理解できました
ありがとうございました＾＾