ガロア体についての質問です

質問

f(x)=x^3+x+1を原始多項式として、その根のαを用いてGF(8)の加算表、乗算表を求める問題です。

原始多項式より、
α^3=α+1
α^4=α^2+α
α^5=α^2+α+1
α^6=α^2+1
α^7=1

と求めました。
此処で質問ですが、加算表や乗算表を作る際、α^4、α^5、α^6が出てきますが、
GF(8)={0,1,α,α^2,α^3}
なので、α^4、α^5、α^6は使えません。
この場合、α^4、α^5、α^6はどのように表に記せば良いのですか？

回答No.3

koko_u_u

>つまり、GF(8)={0,1,α,α^2,α^3,α^4,α^5,α^6} ということでしょうか？

そこで「原始多項式」とは何か、という話になるわけですよ。

お礼

そういう事でしたか
回答ありがとうございます

回答No.2

kabaokaba

>GF(8)={0,1,α,α^2,α^3}
>なので、α^4、α^5、α^6は使えません。

なんで？
GF(8)の要素数がおかしいのはすでに指摘されているけど
α^4、α^5、α^6
だって，GF(8)の要素なんだから
表にいれてはいけないなんてルールはないでしょう？
表には「重複・不足」がなければいいのでは？
表記にはもっともシンプルなものを使うほうがよいのでは？

ちなみに，GF(8)の0以外の要素は巡回群だから
この表記は正当化される

補足

すみません。
ガロア体についてはまだ深く理解していませんでした。

α^4、α^5、α^6を表記しても間違えではないんですね。

回答No.1

koko_u_u

> GF(8)={0,1,α,α^2,α^3} なので

GF(8) は位数 8 の有限体なんだよね？

補足

つまり、GF(8)={0,1,α,α^2,α^3,α^4,α^5,α^6}
ということでしょうか？