因数分解の途中式お願いします。

質問

因数分解が大の苦手で解けません。途中式と解くコツなんかもあったら教えてください。
（１）　4x3乗－18x2乗－10x　　（２）　8a2乗－2ab－3b2乗
（３）　x3乗y3乗－27z3乗　　　 （４）　(x－3)2乗＋3－x
（５）　(x－y)2乗－(2x－y)2乗　（６）　4ab2乗－a＋2b－1
（７）　x2乗－(a－1)x－a　　　　（８）　6x2乗＋7xy＋2y2乗－x－y－1

以上、よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

コツを書いとくので。がんばってください。
(1) 二次式の問題。2x^2 - 9x - 5 を因数分解する。
(2) 二次式の問題。8x^2 - 2x - 3 を因数分解する。
　二次式を分解するには、タスキガケで思いつくなり、
　解の公式を使うなり…
(3) A^3 - B^3 を因数分解する。公式を思い出す。
(4) A^2 - A を因数分解する。
(5) A^2 - B^2 を因数分解する。公式を思い出す。
(6) a の一次式と見て、各係数を b の式として因数分解する。
(7) a の一次式と見て、各係数を x の式として因数分解する。
(8) x の二次式と見て因数分解する。
　各係数を y の式として因数分解し、タスキガケに持ち込む手もあるが、
　与式=0 と置いた式を、x について解の公式で解いてしまうのが簡単。

お礼

一番、解く為のコツを教えてくださったので
とても助かりました。
ありがとうございました。

回答No.5

Pawn_chess

途中式などは他の方が書いているので私は書きません。

問題の分析をしてみるのも遠回りのように思えるかもしれませんが、
本当の数学の実力をあげたいのであればしてみたら良いことだと思います。
私の分析としては、

二項二次式の因数分解 ax^2+bxy+cy^2 がちょっと難しい。
因数分解の問題を出してくるのだから、二次式は必ず因数として一次式が出てくるだろう。
因数分解できない二次式はあるか？→高校などで二次方程式の解の公式や虚数の概念を学ぶと実数の範囲ではできないものもあることがわかってくる。
そもそも二次式を因数分解することの価値は何か？→一次式は二次式より簡単なものであるから
より簡単なもので表現できると便利。
因数を見つけることができればOK。
因数がすぐに見つからないなら、因数の形を予想する。二次式なら (ax+by)(cx+dy) という風に予想して
展開する。（因数分解した後のものを展開するのは簡単。あとは係数を合わせたらOK)
(8) は三項（x,y,定数項)の二次式なので因数分解された後は (ax+by+c)(dx+ey+f) の形になるはず
(ax+c)(dx+f) に注目して x の多項式の部分 6x^2-x-1 と一致しなければいけない。
(by+c)(ey+f) に注目して y の多項式の部分 2y^2-y-1 と一致しなければいけない。
(ax+b)(dx+ey) に注目して 6x^2+7xy+2y^2 と一致しなければいけない。
どれか二つ解けばa,b,c,d,e,f が全部決まる。→二項二次式を二回解く問題だった。結局二項二次式の因数分解が大事。二項二次式の因数分解も結局形を予想するところから始まっているから、
因数分解の問題は因数分解後の形を予想するのが大事。
(1),(3)の場合は３次式だけどどう予想したらいいの？
(1) は x が共通因子として見えているから実質二項二次式の問題。
(3) は 27=3^3 だから A^3-B^3 の因数分解。
奇数次の式は一次式の因数が必ずある。←これについては中学校で習うんだっけ？
二次式はもしかするとこれ以上は実数係数の一次式には分解できないかもしれないけれど。
(x^2+x+1) なんかは分解できない例。
四次式の問題なんか考えるともっと複雑だなぁ。
　・一次式が四つ
　・一次式が二つに二次式が一つ
　・二次式が二つ
のいずれかに分解される。
これ以上因数分解できないかどうかの判定は二次方程式の解の判定式を使う。←高校生程度？

グラフがx軸との交点を持つ場合にその二次式を実数係数の一次式に因数分解できる。

適当に気がついたことを書きましたけれど、この中からヒントみたいなものを拾って下さい。

お礼

少し分かりにくかったんですが、
ご親切にありがとうございます。

回答No.4

IveQA

丸回答が丸投げ質問を助長する！
http://okwave.jp/qa/q6867753.html

お礼

すみませんねｗ

回答No.3

IveQA

式ばかり書き過ぎ！
ANo.1の回答を無にしてはいかん！

お礼

無にしてません。

回答No.2

tomokoich

(1)とにかく共通因数はどしどし出してください
4x^3-18x^2-10x
はまず2xを出してしまいましょう
=2x(2x^2-9x-5)
=2x(2x+1)(x-5)

(2)8a^2-2ab-3b^2
=(4a-3b)(2a+b)

(3)x^3y^3-27z^3
=(xy)^3-(3z)^3
とすれば
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)の公式が使えます
(xy)^3-(3z)^3
=(xy-3z){(xy)^2+3xyz+(3z)^2}
=(xy-3z)(x^2y^2+3xyz+9z^2)

(4)(x-3)^2+3-x
=(x-3)^2-(x-3)
=(x-3)(x-3-1)
=(x-3)(x-4)

(5)(x-y)^2-(2x-y)^2
a^2-b^2=(a+b)(a-b)を使います
(x-y)^2-(2x-y)^2
={(x-y)+(2x-y)}{(x-y)-(2x-y)}
=-x(3x-2y)

(6)4ab^2-a+2b-1
=a(4b^2-1)+(2b-1)
=a(2b+1)(2b-1)+(2b-1)
=(2b-1)(2ab+a+1)

(7)x^2-(a-1)x-a
=(x-a)(x+1)

(8)6x^2+7xy+2y^2-x-y-1
=6x^2+(7y-1)x+2y^2-y-1
=6x^2+(7y-1)x+(2y+1)(y-1)
={2x+(y-1)}{3x+(2y+1)}
=(2x+y-1)(3x+2y+1)

お礼

途中式、拝見させていただきました。
これを参考にがんばってみます。