極端に大きな電流を流せば、その場で焼け飛びます。文字通り煙を上げて燃えますよ。抵抗の場合は故障モードが通常オープンですので、燃えた時点で電流が切れて終わりですね。それほど大きな電流でない場合は焼け飛ぶまではいきませんが、抵抗体とリードなどをつなぐキャップなどの部分が熱で劣化して行き、抵抗値の増加やノイズの発生、熱による基盤などの劣化を招く場合もあるでしょう。チップ抵抗などの場合は、熱によって半田付けがはがれてしまう場合もあるでしょう。
基本的に抵抗はヒーターと同じですから定格以上の電流を流せば、回りを巻き込んで熱的トラブルが発せいするでしょう。また、抵抗も温度係数を持つので過電流によって加熱した場合は意図していた抵抗値よりも抵抗値が大きくなるので、回路の動作自体が不安定になる可能性もありますね。