doubleで表現できる最も小さな値

質問

たとえば
double num = 1.0;
このnumよりも大きなdoubleで表現できる最も小さな値を生成したいと考えています。
FLT_MINを単純に足してもnum==num+FLT_MINとなってしまいます。
num != num2となるような最小値の作りかたを教えて下さい

回答No.7

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

No.3です。
回答の中に、実はヒントがあったのですが……。

さて、IEEE 754の形で表すとき、仮数部は２進数で52桁（＋先頭に 1 を仮定）です。
だから、1.0 に影響を与える絶対値の最も小さい数値は、２進数で52桁目にある、2^(-52) です。
言い換えると、 1.(0 が 52個）に影響を与えるためには、0.(0 が 51個）1 が最小になります。
これが、２進数で、 1.1111111 を超えて 10.00000 （実際には指数部がひとつかわるけど）つまり、2.0 になるまで続きます。

ということで、（以下、表記は 10進数）
1.0 以上 2.0 未満 刻みは DBL_EPSILON
2.0 以上 4.0 未満 刻みは DBL_EPSILON * 2
4.0 以上 8.0 未満 刻みは DBL_EPSILON * 4
となります。

一般化すれば、

2^n 以上 2^(n + 1) 未満 で、刻みは DBL_EPSILON * 2 ^ n です。 (n < 0 でも同じ）

回答No.8

qwertfk

浮動小数の仕様を考えると、正の場合は

double get_next(double d)
{
　double next_d = d;
　unsigned long long& l = (unsigned long long&)next_d;

　if( l & 0xfffffffffffff == 0xfffffffffffff )
　{
　　l = l - 0xfffffffffffff;
　　l += 0x10000000000000;
　}
　else
　{
　　l += 1;
　}

　return next_d;
}

でいけるんじゃないかと思います。

基本的には仮数部*2^nという構造になっており、仮数部は1.0～1.9999...なので
二つの数を比較するときに、まず指数部が一致していなければ指数部が大きいほうが大きい値、
そうでなければ仮数部の大きいほうが大きい値、となっているはずなので。

回答No.6

akayoroshi

> ある数値の次の数値
C99のnextafter関数

回答No.5

asuncion

＞このnum（直前に出てきた1.0のことですよね？）よりも大きなdoubleで表現できる最も小さな値を生成したい

この文の意味がどうしてもわかりません。
どなたか解説をお願いできないでしょうか。

補足

分かりにくい質問になってしまい申し訳ありません。
どうやら先に回答いただいたDBL_EPSILONで問題は解決しそうですが
本来の意図とは異なっています。

本来の質問のイメージは
double型は8バイトなので(2^8)^8個(パターン)の数が表現できます。
実際はNaNなどがあるのでそれよりも少なくなると思いますが。
この数列を昇順にソートしたときの
ある数値の次の数値が知りたいのです。
doubleの刻み幅は常にDBL_EPSILONではないようなので厄介なのです

もう少し回答を募ってみようと思います。

回答No.4

samtomsan

ANo.2です。

忘れていました。

FLT_MINはfloatですから、doubleの場合はDBL_MINですね。
http://simd.jugem.jp/?eid=18

下記も参考になると思います。
http://www.cc.kyoto-su.ac.jp/~yamada/programming/float.html

回答No.3

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

すでに回答がありますが、このような数値は、DBL_EPSILON と定義されています。
手元のコンパイラ（のヘッダファイル）を調べると、具体的には、2.2204460492503131E-16 という数値のようです。
さて、この数値はなんでしょうか？　また、なぜ、num == num + DBL_MIN (double なら、FLT_MIN はそもそもおかしいでしょう）なのかという点です。

まず、現在多く使われている浮動小数点は、IEEE 754形式と呼ばれるものです。
これで、double を表すと、
符号 1 + 小数点以下52桁（ただし２進数で）*2 ^（指数）
となります。
※実際には、（指数）は、以下の説明とは具体的な数値はちょっと違います。
※あと、ここで使っている ^ はべき乗の意味とします（この説明では、ビット演算子ではありません）

さて、実は、DBL_EPSILON (2.2204460492503131E-16) は、２倍して、２倍して……と、52回繰り返すと、ぴったり１になる数値です。
言い換えると、2^(-52) に相当する数値です。

1.0 = （1 + 小数点以下は、0 ）* 2^0 であることを考えると、IEEE 754 で表すと
1.0 = （1 + 小数点以下である52個の0）* 2 ^ 0
になります。 （ただし表記は２進数）
これに何かを足して、1.0 じゃないものにしようと思えば、小数点以下にならんだ52個の0を変化させなければいけません。
つまり、0.（51個の0）1 （ただし表記は２進数）が最小の数値です。

10進数では
1.0/10 = 0.1, 0.1/10 = 0.01, 0.01/10 = 0.001 と、10で割るごとに桁がひとつ下がってゆきます。
同じように２進数では
1.0/2 = 0.1, 0.1/2 = 0.01, 0.01/2 = 0.001 と２で割るごとに桁がひとつ下がってゆきます。（ただし表記は２進数）
つまり、２進数表示で、 0.(51個の0)1 という数値は、２で割ることを52回繰り返した数字になります。
これが、DBL_EPSILON = 2.2204460492503131E-16 = 2^(-52) という意味です。

一方で、DBL_MIN （2.2250738585072014E-308）は、1.0 からみると２進数表記で小数点以下 1024桁の数値になります。
数値を表すのに、たかだか ２進52桁しかないのに、1024桁も小さい数値を足しても、結果は変わらないということになります。

回答No.2

samtomsan

パソコンの場合の数値表現はIEEE754ですから、下記のIEEE754倍精度の場合の説明を見れば判るかと思います。

http://d.hatena.ne.jp/lemniscus/20090816/1250441897

回答No.1

επιστημη（@episteme）

URL参照。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E6%A9%9F%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3