float.h のテスト結果がおかしい

質問

float.h　　をテストするため、次のようなプログラムを作りました。
　float.h　に書かれている値が書き出されると思ったのですが、少し値が違います。
　FLT_MAX と DBL_MAX の値が違っています。本当にこのヘッダファイルを読んでいるかと思い、
#define FLT_MAX 3.4e+3f　　　　と変更すれば、
Max= 3.400000000000000000E+03　と出てきます。

　一致しない原因は何でしょう。
　コンパイラはルネサスのＨＥＷで、ＣＰＵはＨ８／３０５２です。

＊＊＊　float.h　＊＊＊

#define FLT_MAX 3.4028235677973364e+38f
#define FLT_MIN 1.175494351e-38F

#define DBL_MAX 1.7976931348623158e+308
#define DBL_MIN 2.2250738585072014e-308

＊＊＊　プログラム　＊＊＊

sprintf(str," float :%ldBytes Max= %.18E Min= %.18E\r\n", sizeof(float), FLT_MAX, FLT_MIN) ;
Put_str(str) ;
sprintf(str," double:%ldBytes Max= %.18E Min= %.18E\r\n", sizeof(double), DBL_MAX, DBL_MIN) ;
Put_str(str) ;

＊＊＊　結果　＊＊＊

float :4Bytes Max= 3.402823466385288600E+38
　　　　　　　　Min= 1.175494350822287500E-38

double:8Bytes Max= 1.797693134862315700E+308
　　　　　　　　　Min= 2.225073858507201400E-308

＊＊＊　まとめて整理　＊＊＊
　元の原稿は比較し易いように縦に数字が並ぶように書いているのですが、
ここに書き込むとずれてしまいます。

#define FLT_MAX 3.4028235677973364e+38f
　　　　　　　 Max= 3.402823466385288600E+38

　FLT_MIN に比べ有効桁数が多いのが気になる。
　同じ有効桁数で区切っても ...567 と ...466　とでは誤差が大きい。

　　　FLT_MAX 3.402823567 7973364e+38f
　　　　　 Max= 3.402823466 385288600E+38
　　　 FLT_MIN 1.175494351e-38F

#define FLT_MIN 1.175494351e-38F
　　　　　　　 Min= 1.175494350822287500E-38

　四捨五入なら分かる。

#define DBL_MAX 1.7976931348623158e+308
　　　　　　　 Max= 1.797693134862315700E+308
　最後が８と７で違う。しかし、DBL_MAX は８バイトで表せる値に対して四捨五入したために７が８になったと考えれば納得出来る。

#define DBL_MIN 2.2250738585072014e-308
　　　　　　　 Min= 2.225073858507201400E-308
　ピッタリ合っている

　宜しくお願いします。

回答No.4

jacta · ベストアンサー

> 誤差が拡大するのは分かるのですが、次の部分の誤差が大き過ぎると思います。

FLT_DIGを調べれば分かることですが、単精度浮動小数点数の精度は10進法で6桁程度しかありません。

お礼

回答有り難う御座います。

　ＨＥＷのマニュアルに浮動小数点数の仕様が書いて有りました。
　それから最大値を計算すると、次のようになりました。

16777215 * 2^104 =
3.402823466 3852885981170418348452e+38

　すると、次の値が妥当のようです。

#define FLT_MAX 3.402823466e+38F

　更に最大値の次の値は下のようになりました。

16777215 * 2^104 =
3.402823466 3852885981170418348452e+38　最大値
16777214 * 2^104 =
3.402823263 5611925616003375953727e+38　最大値の次の値

　3.402823466　と　3.402823263 の差が大きいのが分かります。
　これで、次の疑問も解けました。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　FLT_MIN に比べ有効桁数が多いのが気になる。
　同じ有効桁数で区切っても ...567 と ...466　とでは誤差が大きい。

　　　FLT_MAX 3.402823567 7973364e+38f
　　　　　 Max= 3.402823466 385288600E+38
　　　 FLT_MIN 1.175494351e-38F
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　まだ次のように、実験結果が今までの計算と合っているのに、ＨＥＷの
ヘッダの値が他と違うと言う疑問が残りますが、大体の疑問が解けました。
　みなさん、有り難う御座いました。

#define FLT_MAX 3.402823567 7973364e+38f　ＨＥＷ
実験結果　 Max= 3.402823466 385288600E+38

回答No.5

chie65536（@chie65535）

＞誤差については分かるのですが、次の部分の誤差が大き過ぎると思っています。

単精度の仮数部は、省かれた１ビットを含め、２５ビットしかありません。

つまり「２の２５乗」の精度しかありません。

「２の２５乗」は「33554432」ですから「１０進数で７桁」だけが有効です（２進数の0～33554432の範囲で表わせる１０進数は0～9999999までの７桁）

「７桁だけ有効」と言うことは「整数部１桁＋小数部６桁」しか信じられないので、小数部６桁で切ると
#define FLT_MAX 3.402823 5677973364e+38f　ＨＥＷ
実験結果　 Max= 3.402823 466385288600E+38
となり、切った小数７桁以下は「無効なので無視しなければならない桁」です。

小数７桁以下を無視すると、どちらも「同じ数値」になります。

言い換えると「小数点以下７桁目が４でも５でも、２進化して単精度の浮動小数点数にコンバートすると、同一のバイナリ値が出来あがる」って事です（小数点以下７桁目が３とか２とかだと、微妙に小さい値になってしまうでしょうから駄目です。また、６とか７とかだとオーバーフローの危険があるので駄目です）

試しに
float f1;
float f2;
f1=3.4028235677973364e+38f;
f2=3.402823466385288600E+38f;
sprintf(str,"%s\r\n",f1 == f2 ? "EQU" : "Not EQU");
Put_str(str);
と言うプログラムを書いてみましょう。

実行すると
EQU
になる筈です。

この結果により「１０進表記が異なっていても、異なるのは有効桁の外（つまり無効桁）なので、内部のバイナリ値が一緒になり、f1とf2が等しくなる」のが判るでしょう。

お礼

回答有り難う御座います。回答を書くのに時間が掛かったでしょう。

　有効桁数が意外に少ないと言うのは、回答番号４のお礼に有るように分かりました。

　みなさんが良く回答してくれるので更に調べ、次の事が分かりました。

(2^24 - 1) * 2^104 =
3.402823466 3852885981170418348452e+38
3.402823466E+38F　　【比較用】あるメーカのFLT_MAX

(2^25 - 1) * 2^103 =
3.4028235677973366 163753939545814e+38
3.4028235677973364e+38f　【比較用】ルネサスと秋月のFLT_MAX

(2^24 - 1)は、111111...　と１が２３個並んだ２進数を１０進数に変換した物。1111 を求めるのに (10000 - 1)として計算。
仮数２２ビット＋上位の固定１　で合計２３ビットの１。

　ルネサスの FLT_MAX に近い物が得られました。これで納得と行きたい所ですが、まだ最後の所が３６６と３６４で、２の違いが有りますね。
　四捨五入でも納得出来ないし、何だろう。パソコン・アクセサリの電卓のバグだったりして。電卓にも今回と同じような問題が有り、表示されていても無効な数字なのかも知れません。

　次のように変更して計算してみましたが、同じ結果でした。少しは変化すると思ったのですが、全く同じと言うのも意外です。

方法１　2^103 * (2^25 - 1)
方法２　2^128 - 2^103

　ここまで分かったから、もういいかなと思っています。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

定義は合ってますが、表示方法が間違っています。

sprintfなどの「printf系関数」は「単精度実数を引数に与えると、倍精度実数に変換する」のです。

この変換の際に、４バイトから８バイトに拡張する為、大きく誤差が出ます。

しかも、１０進数表記（「0.123E+30」など、人間が理解出来る表記）にする際に、丸め誤差など、更に誤差が蓄積します。

簡単に言うと「貴方が目で見ている表示は、いろいろなキャストや変換が行われた後の結果で、元の数値とは似ても似つかないもの」なのです。

少なくとも「float⇒double」のキャストによって「全然違う値」になります。

実験するのであれば「FLT_MAX、FLT_MINを、floatの変数に代入し、変数の中身を16進ダンプする」のが正解です。

そして、16進ダンプした結果を見て、バイナリで「指数部が最大値になってて、仮数部が全部１で埋まってる」のを確認しましょう。

因みに「3.4028235677973364e+38fと書かれたソース上の文字列を、floatのバイナリ値に変換する際」に「既に誤差を含んでいる」のをお忘れ無く。

何故なら「１０進数での有限小数が、２進数では無限小数になる」からです（「0.1」は「１０進数では有限小数」ですが「２進数では循環小数」になり、0.1を２進数で正確に表現する事は不可能なのです）

つまり「3.4028235677973364e+38fと言う１０進数の数値は、２進数では正確に表現不可能」なのです。

お礼

いつも回答有り難う御座います。

　誤差については分かるのですが、次の部分の誤差が大き過ぎると思っています。
　有効桁数が違うから、下半分の桁はゴミだと言うのは分かります。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　FLT_MIN に比べ有効桁数が多いのが気になる。
　同じ有効桁数で区切っても ...567 と ...466　とでは誤差が大きい。

　　　FLT_MAX 3.402823567 7973364e+38f
　　　　　 Max= 3.402823466 385288600E+38
　　　 FLT_MIN 1.175494351e-38F

回答No.2

jacta

H8のHEWは長い間触っていないので詳しいことは忘れましたが、SHのものはfloatとdoubleを常に同じ（両方単精度または倍制度）にするオプションがあったように思います。
それと同じか、同じなくてもヘッダを使い回している可能性がありますので、有効桁数以上を記述していること自体はそれほど問題ありません。

ただ、floatが単精度で、doubleが倍精度の場合、FLT_MAXはどうしても単精度の有効桁数までしか表現できません。そして、可変個数引数としてprintfに渡す際にdoubleに変換されますので、その辺りで誤差が拡大することになります。

お礼

いつも回答ありがとう御座います。

＞floatとdoubleを常に同じ（両方単精度または倍制度）にするオプションがあったように思います。

　調べると、倍精度を単精度にするオプションが有りました。

　誤差が拡大するのは分かるのですが、次の部分の誤差が大き過ぎると思います。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　同じ有効桁数で区切っても ...567 と ...466　とでは誤差が大きい。

　　　FLT_MAX 3.402823567 7973364e+38f
　　　　　 Max= 3.402823466 385288600E+38

回答No.1

php504

実際のfloatで表現できる最大値以上を定義しているからでしょう
そのfloat.hのFLT_MAXは明らかにおかしいですね
誰かが書き換えたんじゃないですか
ちなみにVisualC++では
#define FLT_MAX 3.402823466e+38F
でした

お礼

早速の回答有り難う御座います。

>そのfloat.hのFLT_MAXは明らかにおかしいですね
誰かが書き換えたんじゃないですか

それは有りません。ルネサスからインストールして、私個人で使っていますから。

　調べてみると、下記のように幾つか有りました。
　(2)の方法は(1)よりも１桁少なくなっています。これは四捨五入のためじゃないかと思っています。
　すなわち(1)の方式だと 1/3 * 3 としたときに 0.9999999 と表示され、(2)の方式だと 1.000000
と表示されるんじゃないかと思っています。（少数以下の桁数は適当に書きました。）

秋月電商のＣコンパイラ
#define FLT_MAX 3.4028235677973364e+38f
#define FLT_MIN 7.0064923216240862e-46f

ルネサスＨＥＷ
#define FLT_MAX 3.4028235677973364e+38f
#define FLT_MIN 1.175494351e-38F

FLT_MAX 3.402823466E+38F (1)
FLT_MIN 1.175494351E-38F

FLT_MAX 3.40282347e+38f (2)有効桁数が１桁少ない
FLT_MIN 1.17549435e-38f

#define FLT_MAX 3.40282347e+38F
#define FLT_MIN 1.17549435e-38F

#define FLT_MAX 3.402823466e+38