電磁気 エネルギー保存について

質問

コンデンサー（電気容量C）と電池（起電力V）がつながれているとします。

スイッチを閉じて、定常状態になったとき、コンデンサーにたくわえられるエネルギーはCV^2／２ ですよね
このとき電池のした仕事は CV＾２ です

すると、エネルギーCV^2／２ がどこかに消えていませんか？
エネルギー保存則が成り立っていませんよね？
これはどういうことなんでしょうか？
回答よろしくお願いします。

回答No.3

noname#221368

自分の意見は、みなさんと違うのですが、質問者様に賛成する訳でもありません。

　最初にコンデンサーのない、抵抗0の回路を考えます。これは電池のプラスマイナスをショートさせた状況なので、電池には本来なにも負荷がかからないはずですが実際には、電池は化学変化を利用してるので、負荷がかからない分、化学変化が進みすぎて、電池はすぐに寿命を迎えます。
　もし電池が発電機のように化学変化を利用してないなら、電流は永遠に流れ続けるはずです（これはこれで危険ですが）。つまり、負荷のない回路で電池は、「仕事をしない」と言いたい訳です。ここが質問者様の「誤解」だと思います。

　回路に抵抗Ｒをいれます。今度はＲi（iは電流）の負荷が電池にかかります。Ｒiの仕事を、電池は抵抗に対してする訳です。ただしこの仕事は、エネルギーとして抵抗には貯まりません。何故なら抵抗Ｒは、成された仕事Ｒiを、その場で主に熱エネルギーとして消費するからです。この時の電圧降下の式（キルヒホッフの法則でしたっけ？）は、Ｖを電池の電圧として、

　　Ｖ－Ｒi＝0（実質は、オームの法則）

と書けます。

コンデンサーを入れます。キルヒホッフの法則は、

　　Ｖ－Ｖc－Ｒi＝0　　(1)

です。Ｖcは、コンデンサーの電圧です。

　何を言いたいかというと、電池は、回路抵抗Ｒによる逆起電力Ｒiと、コンデンサーに貯まった電荷による逆起電力Ｖcに「逆らって」仕事をする、という事です。よって(1)にＶcをかければ、コンデンサーに対して電池がした仕事率になるはずです。「率」というのは、電流は秒当りの電荷の移動量だからです。

　上記の話より、(1)にＶcをかけ、適当に移行すれば、

　　Ｖc(Ｖ－Ｖc)／Ｒ＝Ｖc・i　　(2)

が得られます。(2)の右辺は、電池がコンデンサーに対して成した仕事率なので、これを時間で積分すれば、電池がコンデンサーに供給したエネルギーが出るはずです。iとＶcには次の関係があるというのが、コンデンサーの定義です。Ｃを静電容量，tを時間として、

　　Ｃi＝Ｖc/dt　　　　　(3)

が成り立ちます。

　(3)を(2)に代入し、時間で積分すれば、もう(2)の左辺は不要です。不要なので、右辺で考えます。

　　∫Ｖc・i・dt＝Ｃ・∫Ｖc・Ｖc/dt・dt＝Ｃ・∫Ｖc・dＶc　　(4)

　(4)の最右辺の結果は、Ｖcが、0→Ｖと変化するのを考えると、めでたく、

　　CV＾２／２

です。

　だから、あなたの最大の誤解は電池は常に、その起電力分の仕事をしてるはずだという点です。そうではありません。電池が常にその起電力分の仕事をしない事は、抵抗もコンデンサーもない例からわかると思います。

　電池は常に、逆起電力分の仕事をします。でも、わかりにくい処ですよね。

回答No.2

watch-lot

コンデンサーは電源のした仕事の半分だけ受け取ることになるが、残りの半分は回路の電気抵抗による発熱(ジュール熱)に消費されます。
（電源は電圧一定だが、コンデンサーの端子電圧は極板の電荷によって変化します）

回答No.1

foobar

回路の抵抗での散逸、電磁波として放射散逸する、というのを考慮すれば、つじつまが会うかと思います。