この問題がわかりません。

質問

この問題がわかりません。

アークコサインとアークタンジェントを、リミット(lim)を使って、定義にしたがって微分しなさい。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

lim (cos^-1(x+△x)-cos^-1(x))/((x+△x)-x)
△x->0

y=cos^-1(x)とおくとx=cos(y)(0<=y<=π,|x|<=1)、逆関数の定義から

=lim ((y+Δy)-y)/((cos(y+Δy)-cos(y))
△y->0

=lim Δy/((cos(y)cos(Δy)-sin(y)sin(Δy))-cos(y))
△y->0

=lim 1/(cos(y)((cos(Δy)-1)/Δy)-sin(y)(sin(Δy)/Δy))
△y->0

ロピタル適用
=lim 1/(cos(y)((-sin(Δy)/1)-sin(y)(sin(Δy)/Δy))
△y->0

cos^-1(x)の（主値の）定義から0<=y<=π,|x|<=1なので
=-1/sin(y)=-1/sin(cos^-1(x))=-1/√(1-x^2)

y=tan^-1(x)についても同様に逆関数の定義に基づいてやれば出来るでしょう。
やってみて下さい。