述語論理の問題です．

質問

述語論理の問題です．
仮定：「(1)St.Francisは，誰かを愛するすべての人から愛される」
「(2)人間は，誰も愛さないことはない」
結論：「(3)St.Francisはすべての人から愛される」ことを証明せよ．
論理式で表現するところまで私なりの解答を載せました．

P(x)は「xは人間である」，Love(x, y)は「xはyを愛する」を意味するとする．
(1)(∃x)((P(x) → (∃y)(P(y) ∧ Love(x, y)) → Love(x, St.Francis))
(2)(∀x)(P(x) → (∃y)(P(y) ∧ Love(x, y)))
(3)(∀x)(P(x) → Love(x, St.Francis))

この時点で間違っていると思うので，何かアドバイスを頂ければ嬉しいです．
よろしくお願い致します．

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

(1) の ∃ と → を置き換えてみても、
正しい論理式にはなりません。
左括弧と右括弧の数が違うのですから、
括弧はどうしても修正せねばならない。

括弧を正しくつければ、[1] に示したように、
最初の → は → のままでも、
正しい式にすることが可能です。

もちろん、→ を ∧ に置き換える方向で修正する
こともできますが、その場合も、やはり
括弧は直さねばなりません。

論理式を扱う際に、一番避けねばならないことは、
「意味」に引きづられて恣意味的な操作をしてしまうことです。
愚直に形式的操作をすることで
正しい論理式は得られます。

回答No.5

juju6onchu

（１）が間違っています。
正しくは，最初の∃が∀，最初の→が∧です。

式の意味を良く考えてみて下さい。
その後の証明は簡単です。

回答No.4

noname#130082

質問者様がどこが間違っていると思うのか？が分からないのですが、他の方の回答のような調整をすればOKのような気がします。
ただし、(1),(2)の前提からは、(∃x)P(x) とか、P(St.Francis) は証明できないような気はしますが。でも、推論自体の間違いではない。

回答No.3

alice_44

(1) の括弧の付け方も変。

自然言語に近い形から、少しづつ変形すると解り易いのでは？
一旦、
[1-0] (∀x∈Human)( LoveSomebody(x) → Love(x, St.Francis) ).
[2-0] (∀x∈Human) LoveSomebody(x).
[3-0] (∀x∈Human) Love(x, St.Francis).
と書いてから

LoveSomebody(x)　⇔　(∃y∈Human) Love(x, y)
を展開すれば、
[1-1] (∀x∈Human)( ((∃y∈Human) Love(x, y)) → Love(x, St.Francis) ).
[2-1] (∀x∈Human) (∃y∈Human) Love(x, y).

更に、対象領域に関する記述を
(∀x∈Domain) Predicate(x)　⇔　(∀x)( x∈Domain → Predicate(x) )
(∃x∈Domain) Predicate(x)　⇔　(∃x)( x∈Domain ∧ Predicate(x) )
で展開すれば、
[1-2] (∀x)(x∈Human → ( ((∃y)(y∈Human ∧ Love(x, y))) → Love(x, St.Francis) )).
[2-2] (∀x)(x∈Human → (∃y)(y∈Human ∧ Love(x, y))).
[3-2] (∀x)(x∈Human → Love(x, St.Francis)).

最後に、質問文中の記述に合わせて、x∈Human を P(x) と書けば、
[1] (∀x)(P(x) → (((∃y)(P(y) ∧ Love(x, y))) → Love(x, St.Francis))).
[2] (∀x)(P(x) → (∃y)(P(y) ∧ Love(x, y))).
[3] (∀x)(P(x) → Love(x, St.Francis)).

[1] の括弧が違うのが判りますか？

お礼

回答，ありがとうございます．
ご参考にさせて頂きます．

回答No.2

noname#149523

(1)の∃xを∀xにする。あとはok

∃xだと,St.Francisを愛しているaさんという人がいるなら,St.Francisでない人を愛しているbさんがいてもよいことになるが,それは日本語(1)の翻訳として適切ではない。

お礼

回答，ありがとうございます．
ご参考にさせて頂きます．

回答No.1

nag0720

なんか難しく考えすぎているような。

愛する相手は人間でなくてもいいのだから、

(1)(∀x)((P(x)∧((∃y)Love(x, y)) → Love(x, St.Francis))
(2)(∀x)(P(x) → (∃y)Love(x, y))
(3)(∀x)(P(x) → Love(x, St.Francis))

でいいのでは？

お礼

回答，ありがとうございます．
ご参考にさせて頂きます．