二つの値による確率

質問

「ある数字xがあるとして、xが2<x<20とする。
1～10までの数字を二つ(二つは重複しても良い)任意に選び出して合計し、xを上回る確立は何％か。」

この確立については簡単なプログラムを作って、出せるようにしたのですが、数式が判りません。
どなたかお知恵を拝借できないでしょうか。

回答No.7

keyguy · ベストアンサー

質問：
密度関数がそれぞれ
ｐ（ｔ）＝Σ（ｎ＝１～１０）δ（ｔ－ｎ）／１０
である互いに独立な２つの確率変数をＸ，Ｙとしたとき
Ｘ＋Ｙが自然数ｘを上回る確率Ｈ（ｘ）を求めよ。
回答：
Ｈ（ｘ）
＝∫（ｘ＋０＜ｓ＜∞）∫（－∞＜ｔ＜∞）ｐ（ｔ）ｐ（ｓ－ｔ）ｄｔｄｓ
＝∫（ｘ＋０＜ｓ＜∞）Σ（ｍ＝１～１０）Σ（ｎ＝１～１０）δ（ｓ－ｍ－ｎ）ｄｓ／１００
＝Σ（ｋ＝ｘ＋１～２０）Ｎ（ｋ）／１００
ただしＮ（ｋ）は１～１０の自然数ｍとｎについてｍ＋ｎ＝ｋとなる（ｍ，ｎ）の数。
Ｎ（ｋ）＝０（ｋ＜２）
Ｎ（ｋ）＝ｋ－１（２≦ｋ＜１２）
Ｎ（ｋ）＝２１－ｋ（１２≦ｋ＜２１）
Ｎ（ｋ）＝０（２１≦ｋ）
だから（％がほしいことを考慮して１００倍）
１００Ｈ（ｘ）＝１００（ｘ＜２）
１００Ｈ（ｘ）＝１００－ｘ（ｘ－１）／２（２≦ｘ＜１２）
１００Ｈ（ｘ）＝（２０－ｘ）（２１－ｘ）／２（１２≦ｘ＜２１）
１００Ｈ（ｘ）＝０（２１≦ｘ）

１００（ｘ＝１）
９９
９７
９４
９０
８５
７９
７２
６４
５５
４５
３６
２８
２１
１５
１０
６
３
１
０（ｘ＝２０）

お礼

何度もありがとうございます。
かなーり助かりました。数学でも場合分けによる条件式は存在するんですね。

本当にありがとうございます。

回答No.6

noname#24477

ｘまでくじみたいに引くわけではないんでしょう？
ｘを決めたら・・と言うことでは？

任意に２つの数を選んだとき２つの数の和がｋである確率をＰｋと表すと
Ｐ2＝1/100
Ｐ3＝2/100
Ｐ4＝3/100
・・・
Ｐ11＝10/100
Ｐ12＝9/100
・・・・
Ｐ20＝1/100

ｘ＝３のときそれを上回る確率は１－（1/100+2/100）
ｘ＝４のとき　　　　　　　　１－（1/100+2/100+3/100)
ｘ＝１０までこの調子で行って
ｘ＝１１からは足し算で行くほうが早いか。

正直言って質問の意味がいまいちわかりません。
ピントはずれの回答になったかも。
プログラムが作れたのに式がわからないとは？

補足

ある数字を入力して、あとは、10回ループをネスとして、入力された数字を上回る回数、ループ回数をカウント。

上回る回数/ループ回数

で、確率は出ますよね。
ただ、これでは、ある数字を入力しなくては出ないことになります。ある数が、いくつか解らないが選ばれた時、x以上の確率というのはどうやって計算するのかがわかれば、もっと単純なアルゴリズムが生成できるのではないかと思ったのです。

うーん、判りにくくてすみません。

回答No.5

keyguy

ｐ（ｘ）＝Σ（ｎ＝１～１０）δ（ｘ－ｎ）／１０
のときにはｘを自然数として
Ｈ（ｘ）
＝∫（ｘ＋０＜ｓ＜∞）Σ（ｍ＝１～１０）Σ（ｎ＝１～１０）δ（ｓ－ｍ－ｎ）ｄｓ／１００
＝Σ（ｋ＝ｘ＋１～２０）Ｎ（ｋ）／１００
ただし
Ｎ（ｋ）は１～１０の自然数ｍとｎについて
ｍ＋ｎ＝ｋとなる（ｍ，ｎ）の数。

回答No.4

keyguy

訂正

確率変数Ｘの確率密度関数をｐ（ｘ）とすると
問題の確率は
Ｈ（ｘ）＝∫（ｘ＋０＜ｓ＜∞）∫（－∞＜ｔ＜∞）ｐ（ｔ）ｐ（ｓ－ｔ）ｄｔｄｓ
です。
特に
ｐ（ｘ）＝１／１８（２＜ｘ＜２０）
ｐ（ｘ）＝０（ｘ＜２または２０＜ｘ）
のときには
Ｈ（ｘ）＝１（ｘ＜４）
Ｈ（ｘ）＝１－（ｘ－４）＾２／６４８（４＜ｘ＜２２）
Ｈ（ｘ）＝（４０－ｘ）＾２／６４８（２２＜ｘ＜４０）
Ｈ（ｘ）＝０（４０＜ｘ）

ｐ（ｘ）＝Σ（ｎ＝１～１０）δ（ｘ－ｎ）／１０
のときには
Ｈ（ｘ）
＝∫（ｘ＋０＜ｓ＜∞）Σ（ｍ＝１～１０）Σ（ｎ＝１～１０）δ（ｓ－ｍ－ｎ）ｄｓ／１００
＝Σ（ｋ＝ｒ＋１～２０）Ｎ（ｋ）／１００
ただし
Ｎ（ｎ）は１～１０の自然数ｍとｎについて
ｍ＋ｎ＝ｋとなる（ｍ，ｎ）の数。

回答No.3

fushigichan

tamanegi_majinさん、こんにちは。
xが任意に選んだ自然数ということで、ずいぶん考えやすくなりますね。

まず、重複を許して選び出される２つの数は、
(x,y)とすると、１から１０のそれぞれ自然数なので、
(x,y)=(1,1)(1,2)・・・(1,10)
　　　(2,1)(2,2)・・・(2,10)
　　　・・・・・
　　　(10,1)(10,2)・・(10,10)
までの１００通りがありますよね。

その合計を考えるのですが、
合計が２になるのは、(1,1)のみ１とおり。
合計が３になるのは、(1,2)(2,1)の２とおり。
・・・
合計が１０になるのは、(1,9)(2,8)・・(9,1)の９とおり。
合計が１１になるのは、(1,10)(2,9)・・(10,1)の１０とおり。←このとき最大
・・・
合計が２０になるのは、(10,10)の１とおり。

となるので、選んだ２数で
合計が２になる確率は(1/100)
合計が３になるのは、(2/100)
・・・
合計が１１になるのは、(10/100)
・・・
合計が２０になるのは、(1/100)です。

さて、このときに、これらの選んだ数が、任意に取り出したｘより上回るので
（ｘは、2<x<20の自然数を、どれも同じ確率で取りうると思っていいですね？）
合計が２０のとき、ｘは３以上１９以下の自然数なので、いつも上回る。
合計が１９のとき、xはx=3,4,5,6,・・,18であればよいので16/17をかける。
合計が18のとき、x=3,4,5,6,・・,17のどれかだといいので、
15/17をかける。

・・といった具合に、２つの合計の起こる確率×xの取りうる数字の起こる確率
とすればいいのではないでしょうか。

(1/100)*1+(2/100)*(16/17)+(3/100)*(15/17)+(4/100)*(14/17)
+(5/100)*(13/17)+(6/100)*(12/17)+(7/100)*(11/17)+(8/100)*(10/17)
+(9/100)*(9/17)+(10/100)*(8/17)+(9/100)*(7/17)+(8/100)*(6/17)
+(7/100)*(5/17)+(6/100)*(4/17)+(5/100)*(3/17)+(4/100)*(2/17)
+(3/100)*(1/17)+(2/100)*0+(1/100)*0
２数の合計が2か3のときは、３以上１９以下を取りうるｘを「上回る」ということはない。

となるので、求める確率は
807/1700
と出ました。
ただし、xが３以上１９以下の自然数を同じ確率で取りうると仮定したものです。

ご参考になればうれしいです。

お礼

なるほど、構造がよくわかります。
これを利用して更なる数式を作り出せそうです。
ありがとうございます。

回答No.2

keyguy

確率変数Ｘの確率密度関数をｐ（ｘ）とすると
問題の確率は
Ｈ（ｘ）＝１－∫（－∞＜ｔ＜∞）ｐ（ｔ）ｐ（ｘ－ｔ）ｄｔ
です。
特に
ｐ（ｘ）＝１／１８（２＜ｘ＜２０）
ｐ（ｘ）＝０（ｘ＜２または２０＜ｘ）
のときには
Ｈ（ｘ）＝１（ｘ＜４）
Ｈ（ｘ）＝１－（ｘ－４）＾２／６４８（４＜ｘ＜２２）
Ｈ（ｘ）＝（４０－ｘ）＾２／６４８（２２＜ｘ＜４０）
Ｈ（ｘ）＝０（４０＜ｘ）

回答No.1

noname#108554

ある数字xはどのように与えられているのでしょうか?

1.ある値でfixされているのか、
2.2<x<20の範囲での一様乱数なのか、
3.xは整数なのか

とまあこのぐらいは指定していただかないと。

補足

失礼しました。
xは任意に選んだ自然数です。