極値と凸性を教えてください

質問

極値と凸性を教えてください

x^4 - 4x^3 + 4x^2

2回微分の因数分解はどこまでするのでしょうか？
重ね重ねすみませんが増減表の書き方を教えてください
よろしくお願いします！

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

増減表は教科書、参考書にも載っていますし、授業でも必ずやるはずです。
まず自分で増減表を作って補足に描いてください。
参考URLにも増減表の例が載っています。

作った増減表を使って
y=f(x)=x^4-4x^3+4x^2=(x^2)(x-2)^2
y'=f'(x)=4x(x-2)(x-1)
y"=f"(x)=4(3x^2-6x+2)
をプロットした図を添付します。
極値の候補は　y'=f'(x)=0のx=0,1,2の時発生します。
x=0,2の時　f"(0)=f"(2)=8>0なので下に凸で、極小値f(0)=f(2)=0を取ります。
x=1の時、f"(1)=-4<0なので上に凸で、極大値f(1)=1を取ります。

参考URL：

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/graph/graph.htm

お礼

ありがとうございました
図まで添付して頂き、何と言っていいやら…

おかげさまで解くことができました

本当にありがとうざいました

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

関数の最大・最小を求めるまで（増減表を書くまで）であれば、1階微分で十分です。
グラフの概形を描かなければならないときには、2階微分までとった方が「堅い」です。

と書きましたが、もう少し言い換えれば、
・1階微分は、「極値」を求めるため
・2階微分は、「変曲点」を求めるため

におこなうということになります。

＞2回微分の因数分解はどこまでするのでしょうか？
因数分解をすることが大事なことではありません。
「f ''(x)＝ 0となる点を見つけること」が大事なことです。

いまの問題であれば、2階微分は 2次関数になるので、2次方程式の解として求められることになります。
その計算手段として、因数分解を用いることはあるかもしれません。

極値となる点を見つけるときにも、まず f '(x)＝ 0となる点を探しますよね。
（その点の前後で、1階微分の符号が変わることを確認しないといけませんが）
それと同じことですよ。＾＾

お礼

ありがとうございました