数独をやっていますが、手筋を以下のように説明されることがよくあります。

質問

数独をやっていますが、手筋を以下のように説明されることがよくあります。

[前提]
マスＡには１か２しか入らない。

[仮定]
マスＡが１だとすると、マスＢは１となる。
マスＡが２だとすると、マスＢは１となる。

[結論]
マスＢは1である。

このような証明方法を論理/数理では何というのでしょうか？

回答No.1

bin-chan · ベストアンサー

> [仮定]
> マスＡが１だとすると、マスＢは１となる。
何か、違う気がしますが。

演繹法（三段論法）ですかね？

お礼

以下のサイト等で、三段論法の一種で「両刀論法」(正確には「単純構成的両刀論法」)だと分かりました。

http://toto2000.blog.ocn.ne.jp/shigoto/2006/08/post_afb3.html
http://www.aoni.waseda.jp/hhirao/logic/no8.htm
http://z-abc.com/doukeisei.html

ありがとうございました。

回答No.4

htms42

私は名前には興味がありませんのでご質問の「どちらに転んでも」に当たる言葉がどういうものかは知りません。
ていねいに例をあげて、数独の問題としてではなくて質問される方がいいと思います。

でもその際、例に使われている論理や場面があいまいであれば回答が出てこないでしょう。

＞「マスＡには１か２しか入らない。
マスＡが１だとすると、マスＢは３ではない。
マスＡが２だとすると、マスＢは３ではない。
したがって、マスＢは３ではない」・・・（I）

でも結構ですし、

＞「マスＡには１か２しか入らない。
マスＡが１だとすると、マスＢは３となる。
マスＡが２だとすると、マスＢは３となる。
したがって、マスＢは３である」・・・（II）

でも結構です。

どちらも同じだと思われているようですが違います。
「（I）は成り立つが（II）は成り立たない」と書いたことを数独のルールの説明だと思われているようですね。
でもある論理が使えるかどうかはルールによってきまるのです。
数独のルールはある一つの場面では数字の配置が一通りに決まっているということを保証するものになっています。したがってある一つのマス目に５が入ればそこにはもう６は入ることができないのです。
両立しない、同時には起こらない出来事を「背反事象」と言います。どういう組み合わせが背反事象になるかはルールによって変わってきます。
５と６が同じマスに入ってもいいというルールの別のゲームを作ることもできるのです。

（II）はＢが３という数字の配置にたいしてＡは１でも２でもいいということですから数字の配置は１通りではないことになります。これは数独（ナンプレ）ではありません。

数独のルールと関係がないということであれば、単に(Ｘ)→（Ｙ）という矢印の名前を聞いていることになります。

（Ｘ）の中身が１つではなくて（Ｘ１）でも（Ｘ２）でも（Ｘ３）でも（Ｙ）になるというのは数学の言葉で言うと一価か多価ということに対応するだけです。
ｙ＝ｘ^2にｘ＝２を入れてもｘ=-2を入れてもｙ＝４であるというのと同じ内容です。
特別な論理的な用語があるようには思えません。（多分私が知らないだけでしょう。）

（I）は数独のルールに従っています。論理的に正しいです。
前提は
・数字の配置は1通りに決まる
・マスＡに１か２しか入らない・・・他の数字の入る可能性はない

１が入るか２が入るかは両立しない事象であってそれしかない事象ですからその２つでＢに３の入る可能性が否定されればＢに３が入らないことは確定するのです。

数独の「背理法」は論理学で使われている背理法と同じだと思います。
「ＰはＱである」という命題を証明するときに「ＰはＱでない」として論理を進めて行って矛盾を引き起こせば初めの仮定「ＰはＱでない」が否定された、すなわち「ＰはＱである」が証明されたと考える方法です。
「ＰはＱである」と「ＰはＱではない」とは両立しない命題です。この2つしかなくてどちらかが正しいということが分かっているとします。
片方から出発して矛盾に行きあたればもう一つの方が正しいのです。
√２が有理数ではないということを証明するときに使うという例が高校の数学の教科書に出てきます。
有理数であるか有理数でないかのどちらかしかないということが成り立っています。有理数であると仮定して矛盾に行きあたれば無理数であるということになります。

あるマスにはいる数字が１か２しかないということが分かっています。
１であるとして他の数字を決めて行くと矛盾に行きあたります。
このマスに入るのは２であると決まります。

√２に対して使った背理法そのものです。

背理法を排除するということがよく書かれています。論理的におかしいことをやっているのではなくて「面白くない」というのが理由です。
矛盾に行きあたらなければ終わりまで行ってしまいます。
「仮に～だとしたら」という仮定で終わりまで行くのがしっくりいかないのです。
でも数字の配置は1通りのはずだということから言うと矛盾なく終わりまで行けたらそれが正解です。

「解き味」という言葉を使っている本があります。
解けたらいいというのではなくて解くときに使った論理がすっきりしたものであってほしいという希望に応えようとしているのでしょう。

ｌｏｎｇ－ｃｈａｉｎ　という方法の使っている論理は背理法です。

鎖の長い背理法を使うと矛盾に行きついた時に元に戻ることができなくなります。
初めからやり直さなければいけないということにもなってしまいます。
だから初めに鎖の長さを見積もってスタートしています。ループになるようにしています。
ｃｈａｉｎではなくてｌｏｏｐに特徴があるのです

回答No.3

htms42

ＸＹ－ｗｉｎｇ　というのを見てみました。

　　　ｃ２　　　ｃ５
ｒ２（ｘ　ｙ）（ｘ　ｚ）
ｒ５（ｙ　ｚ）（　？　）
（？）にはｚが入らないというものです。

同じ行または列のは同じ数字は入らないというルールをあてはめただけです。
論理として難しいものを使っているわけではありません。
その論理に名前があるわけでもありません。
どちらにしろｚは入らないというのを「どちらに転んでも」と表現したければ表現すればいいです。

ただこのテクニックはあなたの書かれている

＞マスＡには１か２しか入らない。

＞マスＡが１だとすると、マスＢは１となる。
＞マスＡが２だとすると、マスＢは１となる。

＞マスＢは１である

と同じではありません。
あなたの文章は誤りです。数独のルールにも合っていません。

「マスＡには１か２しか入らない。

マスＡが１だとすると、マスＢは３ではない。
マスＡが２だとすると、マスＢは３ではない。

したがって、マスＢは３ではない」

数独では数字の配置はただ一通りに決まります。
「マスＡに１か２しか入らない」ということが分かっていてそのどちらの場合でも「Ｂには３が入らない」ということが分かれば「Ｂには３は入らない」のです。
Ａに１，２以外の数字の入ることはないのですからＢに３が入ることもないのです。

ＸＹ－ｗｉｎｇの説明にもありますが
原理は簡単です。
見つけるのが難しいのです。
否定の形であらわされている方が肯定の形であらわされているものよりも見つけにくいことが多いです。

補足

> 原理は簡単です。
> 見つけるのが難しいのです。
> 否定の形であらわされている方が肯定の形であらわされているものよりも見つけにくいことが多いです。

数独へのアドバイスありがとうございます。しかしながら、残念ながら私の質問の求めているものは、
数独へのアドバイスでも数独のルールでもありません。

私の質問をうまく書き表せなくてすみません。

「マスＡには１か２しか入らない。

マスＡが１だとすると、マスＢは３ではない。
マスＡが２だとすると、マスＢは３ではない。

したがって、マスＢは３ではない」

でも結構ですし、

「マスＡには１か２しか入らない。

マスＡが１だとすると、マスＢは３となる。
マスＡが２だとすると、マスＢは３となる。

したがって、マスＢは３である」

でも結構です。

> 「マスＡに１か２しか入らない」ということが分かっていてそのどちらの場合でも
> 「Ｂには３が入らない」ということが分かれば「Ｂには３は入らない」のです。
> Ａに１，２以外の数字の入ることはないのですからＢに３が入ることもないのです。

私が知りたいのはその根底に流れる論理の名前です。

どうか XY-wing だけに限らず以下のサイトで Forcing Chain/Net というテクニックと合わせて私の質問をご理解ください。

http://www.geocities.jp/master_mishichan/abeshi.html

> どちらにしろｚは入らないというのを「どちらに転んでも」と表現したければ表現すればいいです。

私の質問の核心はまさにその「どちらにしろ」なのです。その論法には数理/論理学では名前がないのでしょうか？

私はある気がするのです。というのはXY-wingの証明をするのに他の方法として背理法があります。
(見てくださったサイトで「理由：」としているのがそれです)
一方の方法にちゃんと名前があるのに他方の方法に名前がないのは不自然です。

※この場合の「背理法」は数理/論理学での背理法であって、試行錯誤の言い訳や代名詞として使われている「背理法」ではありません。

回答No.2

htms42

＞マスＡには１か２しか入らない。

＞マスＡが１だとすると、マスＢは１となる。
＞マスＡが２だとすると、マスＢは１となる。

これだと普通はＢはＡと無関係ということです。
ＢはＡ以外の条件で決まっているということになります。

別のところの条件を見落としているのではありませんか。
数独（ナンプレ）は条件がなかなか見えてこないというところに難しさがあります。

補足

ちょっと簡単に書きすぎたかもしれません。
以下のサイトでForcing Chain/Netというテクニックを私が記述したような説明をしています。

http://www.geocities.jp/master_mishichan/abeshi.html

また以下のサイトのXY-wingについての最初の図に注目してください。

http://www.geocities.jp/master_mishichan/super.html

その図では以下のように説明できます。

もしc2r2がＸだとするとc5r2=Zでc5r5はZではない。
もしc2r2がＹだとするとc2r5=Zでc5r5はZではない。
よってc5r5はZではない。

よく日常で「いずれにせよ」とか「どっちに転んでも」とか言いますよね？このような論法に数理/論理学では何か名前はないのでしょうか？