Mann-WhitneyのU検定について質問です。

質問

Mann-WhitneyのU検定について質問です。
Uの式　U＝n1×n2+1/2×n2×(n1+1)－R2
がなぜこうなるのかが理解できません。U検定の方法は理解していますが、この式にまとまめるやり方が分からないのです。
どなたか教えていただけませんか？　よろしくお願いします。

回答No.1

takurinta

Uの意味を知っているということを前提に説明します。
記号を少し変えてn1, n2, R2をそれぞれm, n, Rとします。すなわち、グループ1のサイズがm、グループ2のサイズがn、グループ2の順位の合計がRとします。
グループ2の順位を小さい順に並べてr_1, r_2,...,r_i,...,r_nとすると、
R=?r_i
です。
グループ2で1番目はr_1位なので、その後ろにはm+n-r_1並んでいますが、そのうち(n-1)はグループ2なので、1番目の後ろにいるグループ1の数は
m+n-r_1-(n-1)=m+1-r_1
...
グループ2でi番目はr_i位なので、その後ろにはm+n-r_i並んでいますが、そのうち(n-i)はグループ2なので、i番目の後ろにいるグループ1の数は
m+n-r_i-(n-i)=m+i-r_i
...
グループ2でn番目はr_n位なので、その後ろにはm+n-r_n並んでいます。後ろは全てグループ1です。
グループ2の追い越しているグループ1の数の合計がUの定義であることをそのまま適用すれば、答になります。
?(m+i-r_i)
=nm+?i-?r_i
=mn+n(n+1)/2-R

すなわち、あなたの提示した式は間違っていて、
U＝n1×n2+1/2×n2×(n2+1)－R2
もしくは
U＝n1×n2+1/2×n1×(n1+1)－R1
とすべきです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%82%A4%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%81%AEU