m!と1/2の2m乗のガンマ関数への変換

質問

m!と1/2の2m乗のガンマ関数への変換

添付画像の式の変形でとくにm!と(1/2)の2m乗がどのガンマ関数に変形しているのかがよくわかりません。出典もとは下記リンクのp6となります。

www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h11/kunimasa.pdf

よろしくお願いいたします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

添付式につき、共通部部分を消去すると、
　1/m!・(1/2)^(2m)=Γ(m+1/2)/{Γ(1/2)Γ(2m+1)}
となるので、これを導くことにします。

右辺の分子
=(m-1/2)Γ(m-1/2)=(m-1/2)(m-3/2)Γ(m-3/2)
=…=(m-1/2)(m-3/2)…(m-(m-1/2))Γ(1/2)
=(2m-1)(2m-3)…1・2^(-m)・Γ(1/2)

右辺の分母
=Γ(1/2)・(2m)(2m-1)…1・Γ(1)

よって、右辺
={(2m-1)(2m-3)…1・2^(-m)}／{(2m)(2m-1)…1}
=2^(-m)／{(2m)(2m-2)…2}
=2^(-m)／{m!・2^m}
=1/m!・(1/2)^(2m)
=左辺

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。