どちらが正解ですか？

質問

∫ｘ(ｅ^-3x)dx
(範囲０≦ｘ≦１)

この定積分の答えは(－４/９ｅ^-3)＋１/９ですか？それとも(－１２ｅ^-3)＋９ですか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>この定積分の答えは(-4/9)(e^(-3))＋(1/9) ですか？
>　それとも(－１２ｅ^-3)＋９ですか？

前の方が正解です。後の方は間違い。

∫[0,1]ｘｅ^(-3x)dx
部分積分して
=[x(-1/3)e^(-3x)](x:0,1)+(1/3)∫[0,1]e^(-3x)dx
=-(1/3)e^(-3)+(-1/9)[e^(-3x)](x:0,1)
=-(1/3)e^(-3)-(1/9){e^(-3)-1}
=-(4/9)e^(-3)+(1/9)

お礼

ですょね！
ありがとうございます(^O^)／

回答No.1

sanori

こんばんは。

Ｕ　＝　ｘ
Ｖ’＝　ｅ^(-3x)
と置けば、
Ｕ’＝　１
Ｖ　＝　－ｅ^(-3x)／３
なので、部分積分すれば

∫ｘ(ｅ^-3x)dx　＝　∫ＵＶ’ｄｘ
　＝　ＵＶ　－　∫Ｕ’Ｖｄｘ
　＝　ｘ・（－ｅ^(-3x)／３）　－　∫－ｅ^(-3x)／３・ｄｘ
　＝　－ｘｅ^(-3x)／３　＋　∫ｅ^(-3x)／３・ｄｘ
　＝　－ｘｅ^(-3x)／３　＋　（－１／３）・ｅ^(-3x)／３　＋　Ｃ
　＝　－ｘｅ^(-3x)／３　－　ｅ^(-3x)／９　＋　Ｃ

定積分　＝　－１・ｅ^(-3・1)／３　－　ｅ^(-3・1)／９　＋　０・ｅ^(-3・0)／３　＋　ｅ^(-3・0)／９
　＝　－ｅ^(-3)／３　－　ｅ^(-3)／９　＋　０　＋　１／９
　＝　１／９・｛－３ｅ^(-3)　－　ｅ^(-3)　＋　１｝
　＝　１／９・｛－４ｅ^(-3)　＋　１｝
　＝　－４／９・ｅ^(-3)　＋　１／９

計算に自身はありませんが・・・

お礼

ありがとうございます(o^∀^o)