因数分解

質問

学校で因数分解の公式を習いました。いまだに疑問なのは、とりあえず形として、分解前の数式になるものは、必ずその公式で分解出来るのでしょうか？何かお茶を濁らせて教えられた気もします。どなたか詳しい方、教えて頂けませんか？

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#3です。
>全部整数としても、教科書の公式で高校レベルで出来ないものもあると考えていいのでしょうか？
もちろんあります。
しかし、因数分解する試験問題や演習問題ではその数学のレベルで解ける問題が取り上げられます。解けない問題を出す出題者や問題集の方が出題ミスとしたり非難されたり適当でないと削除されたりします。
なので、多少難しい問題もあるかと思いますが必ず因数分解できるでしょう。けれども入試問題や数学オリンピックなどで取り上げるような問題では、公式がそのまま適用でき誰でも100点満点が取れる因数分解の問題が出ません。誰もが100点満点では入試の選抜ができないし、数学の能力を競う催しでは誰でも解けるような因数分解では問題としては意味がありません。授業や参考書ではちょっと努力すれば誰でも公式を利用したり考えて因数分解できる問題が用意されています。先生も解けないような問題では授業では取り上げられないですね。

次のような整数の係数の多項式
x^7-5*x^4+3*x-8
も因数分解は可能ですが、誰も因数分解できないでしょう。
左辺のグラフを描けばx軸と一箇所で交わりますので因数分解は可能ということですが、おそらく交点は単純な無理数ではあらわされないでしょう。

しかし
>大学レベル等になるとすべて解く方法も教わるのですかね？
大学レベルでは数値解析で、複素数の範囲ですべての因数で因数分解してしまいます。
(x-0.753387...-i*0.683567...)(x-0.753387...+i*0.683567...)*
(x+0.950764...-i*0.863380...)(x+0.950764...-i*0.863380...)*
(x+0.674364...-i*1.494487...)(x+0.674364...-i*1.494487...)*
(x-1.743484...)
といった因数分解が行われます。
理学部の数学専攻では近似値によらない厳密値による因数分解を追及し、解決できるまで追求します。工学部や応用数学では、厳密値が求まらなくても必要な有効桁数の精度で因数分解してしまいます。現実の問題を解決するためには解を出して現実の問題を解決しないといけないというのが工学や実用数学の立場です。
宇宙開発でもすべて厳密解を出さないと先に進めないなら宇宙開発や先端科学の研究が迅速に進みません。
といった具合ですね。

ということで大学では、因数分解できない問題も扱い、解けないことも蟻です。解けないならどうしたら解けるだろうと研究し追求します。
従って、解けない問題や解の分からない、大学の教授も解けない問題も扱い挑戦するのが大学の数学ですね。未解決の問題もいつかは解けるということを信じて挑戦するわけです。

お礼

ご丁寧に詳しく有難うございます。実は自分は文系です。ただ例題を解いてやみくもに公式を覚え、それを適用する。以上のことは習わなかった気がします。公式を何度も適用して（高一レベルの）解くような次数の高い多項式などの場合ひょっとしたらなんとか公式の型にあてはめても出来ないこともあるのではないかと・・・よけいなことかも知れませんが。学生時代を過ごし教育機関にも仕事でちょっと携わりましたが、普通の高校で議論されることはないみたいです。日本人は素直なのでしょうか？

回答No.6

sinisorsa

似たような質問に答えたことがありますが。

１．学校とか、入試とかで出題される因数分解の問題は
ほぼ必ず、因数分解できます。
出来ない問題をだすと、答えがないと非難されますから。
ほぼと書いたのは、もしかすると、へその曲がった人も
いる可能性を否定できませんので。
２．方針
（１）必ず因数分解できると確信すること
（２）次数が最大の変数に注目して、次数ごとにまとめること
　各次数の係数に当たる式に注目すると、共通因子が見つかる
　ことが多い
（３）式が変数の対称式となっている場合（３変数の場合が多い）
　　因子にも対称式が含まれる
高校レベル、大学入試レベルだとこの辺でなんとかなるでしょう。
一番大事なことは、（１）です。
数学の本質ではありませんが、学校数学と割り切って考えてみたら
いいでしょう。

お礼

有難うございます。まあそれでいいと思います。実生活に全く関係ないので。数学の本質は厳しいものなのですね。

回答No.5

arrysthmia

何を質問しているのか
イマイチ判らないのですが…

学校で習った公式は、いつでも成り立つのか？
ということら、いつでも成り立ちます。
例えば、a~2-b~2=(a+b)(a-b) は、
a,b に何を代入しても成り立ちます。
成り立ったり、成り立たなかったりすることは、
ありません。お茶濁しようがない。

質問が、全ての多項式は因数分解可能か？
という意味ならば、
整数係数の範囲では、当然、
分解できない多項式もあります。
x~2-3 とか、x~2+1 とかの因数分解を
考えてごらんなさい。

因数分解が可能かどうかは、
分解に使う係数の範囲によって変わります。
先の x~2-3 の例は、整数係数では分解不能ですが、
実数係数では (x+√3)(x-√3) と分解できます。
だから、分解可能か不能かは、
係数の範囲を指定して語らなければ
意味をなさない。

貴方が、将来、「複素数」というものを習ったら、
複素数係数の全ての多項式は、
複素数係数の範囲で、一次式の積に分解できる
…ことも習うでしょう。
ただし、それと、整数係数の多項式が
整数係数の範囲で因数分解できるかは、
全く別の話です。

参考になりましたか？
それとも、また、
お茶濁された気持ちになりましたか？

お礼

すいません。自分に理解力が無かっただけなのか？一応先進国で科学技術立国を目指してるんですよね。本質的なことにこだわる人がいてもいい気がするのですが。もっとも応用技術に特化するなら、理論的な本質論は後手に回りがちにはなるでしょうが。これだけ人口がいるんだから本質的なことにこだわってしまう人間がもっといてもいい気がしますが、今は不景気で学者タイプの人は大変でしょうね。もっとも人間だからこその知識体系もあると思うのですが、何か作って売るのが我々の日々の糧ですよね。

回答No.3

info22

>学校で因数分解の公式を習いました。
>分解前の数式になるものは、必ずその公式で分解出来るのでしょうか？
教えた先生がその授業後の試験や例題では因数分解の公式が適用できる問題を取り扱うでしょう。学習指導要綱に基づいて授業が計画され問題もそれに基づいて作られているはずかと思います。
しかし、その傘の下から離れた所では、必ずしも公式どおりで無い因数分解例にも出会うことは間違いないでしょう。
何分も、限られた授業時間ではあらゆること尽くすことができないし、その学年のレベルを超える公式やまだ学習していないやり方は使わないのが現実の授業ですね。

補足

早速のご丁寧な回答有難うございます。全部整数としても、教科書の公式で高校レベルで出来ないものもあると考えていいのでしょうか？
大学レベル等になるとすべて解く方法も教わるのですかね？

回答No.2

matumotok

こんにちは。

因数分解の公式と言うのがどのようなものか分かりませんが、、、例えば「与えられた式＝０」と置き、その方程式を解く解A、Bを導き出して(X-A)(X-B)とする、という考え方であれば、

＞必ずその公式で分解出来るのでしょうか？

出来ません、となります。因数分解するのであれば、A、Bは整数でなければなりません。しかし、「与えられた式＝０」の解は必ずしも整数とは限りません、累乗根が残ることもありますし虚数になることもあります。例えばX^2+X+1など。そのような場合には「因数分解できない」となります。

的外れな回答であったら、ごめんなさい。

補足

さっそうの回答有難うございます。整数だとしても・・・です。
ベタに教科書に載ってる公式で出来ないのがあるかということです。

回答No.1

chiobitan

意味は良くわかりませんが、下記が参考になるのでは？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3