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反応速度と温度
アーレニウスの式を考慮すると、反応速度vはΔEを活性化エネルギー、Tを温度、cを定数として v=c√T・e^(-ΔE/RT) で表わされます。T=50℃のときの反応速度の2倍の反応速度で反応させたいとき、 温度は何度にすればよいか? これを解きたいんですけど、方程式立てるとxがeのべき乗の方にも出てきてしまって上手く解けません。 なんかいい解法はありますか?
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すっきりした形では解けないので数値的に解きます。 温度T1のときの反応速度をv1, 温度T2のときの反応速度をv2とすれば、 v2/v1=√(T2/T1)・e^(-ΔE/RT2)・e^(ΔE/RT1) ……(1) の対数をとって少し計算すると T2=1/(1/T1-(R/ΔE)ln(v2/v1)+(R/2ΔE)ln(T2/T1)) ……(2) のようにT2を表すことができます(符号や係数などを間違えているかもしれないので確認して下さい)。求めるべきT2が右辺に残っていますので、すっきりした形では解けていませんけど、以下のように繰り返し計算をすれば、数値的にT2を求めることができます。 (a) 式(2)の右辺に T1=T2=323K, ΔE/R=与えられた値, v2/v1=2 を代入してT2を求める。 (b) 式(2)の右辺に T1=323K, T2=(a)で求めた値,ΔE/R=与えられた値, v2/v1=2 を代入してT2を求める。 (c) (a)で求めたT2と(b)で求めたT2とを比べる。値が一致していればそれが解である。値が一致していなければ,式(2)の右辺に T1=323K, T2=(b)で求めた値,ΔE/R=与えられた値, v2/v1=2 を代入してT2を求める。 (d) (b)で求めたT2と(c)で求めたT2とを比べる。値が一致していればそれが解である。値が一致していなければ,値が一致するまで計算を繰り返す。 数式で書けば、それぞれのステップで (a) T2=1/(1/T1-(R/ΔE)ln2) (b) T2=1/(1/T1-(R/ΔE)ln2+(R/2ΔE)ln(1/(1/T1-(R/ΔE)ln2)/T1)) (c) T2=1/(1/T1-(R/ΔE)ln2+(R/2ΔE)ln(1/(1/T1-(R/ΔE)ln2+(R/2ΔE)ln(1/(1/T1-(R/ΔE)ln2)/T1))/T1)) (d) T2=... を計算していることになります。つまり式(2)の右辺のT2に前のステップで計算した値を代入して、式(2)の左辺のT2を求めていることになります。 数式入力ができる関数電卓を使えば、上の手続きは見た目ほど煩雑ではないです(機種にもよるけど、手続き(b)以降は実際には[=]キーを連打するだけ)。でも、関数電卓に不慣れだと分かりにくいかもです。 そういう場合は、関数電卓や表計算ソフトを使って、式(1)の右辺を直接計算すればいいです。T1=323K, ΔE/R=与えられた値,T2=適当な値,を代入して計算して、答えが2になれば、そのとき代入したT2の値が解です。
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- drmuraberg
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すっきりした形では解けないと思います。 T1=50℃に対する温度上昇分Xですから、おおよそT2=60℃(X=10)と推測できます。 したがって、 ln(1+X/T1)~X/T1 ここにX/T1<<1の近似式を使いましょう。 10/(273+50)=0.031ですから、まあ十分でしょう。 これで、整理するとXの2次式になります。 アレニウスの式の速度因子に√Tが掛かっていますが、何の式ですか。 昔、ごちゃごちゃと計算していて似た形の式を導出した記憶があります。
お礼
アドバイスありがとうございます。 近似のことを忘れてましたw もういっかいそれでやってみます。
お礼
やっぱり結構複雑なんですね、代入でがんばってみます。 ありがとうござました!!