同じクラスになる確率

質問

こんにちは☆
同じクラスになる確率を教えてください☆
それは学校のクラス替えで例えばAクンとBクン、２人が同じクラスになる確立なんですが・・・。
私の学年は１５０人の４クラスです
教えてください。

回答No.8

springside · ベストアンサー

補足で書かれている、
>補足なんですが・・・この考え方はおかしいのでしょうか？
>それは例えばAクンが１組になる可能性が４分の１、
>Bクンが１組になる可能性が４分の１、
>よって１６分の１という考え方です。
>あと例えばAクンが１組になる可能性は４分の１ですよね？
>これが４分の１なのに２人が同じクラスになる確率も
>４分の１なのですか？
についてですが、

「Ａクンが１組、Ｂクンも１組になる確率」は１６分の１ですが、
「Ａクンが２組、Ｂクンも２組になる確率」も１６分の１、「Ａクンが３組、Ｂクンも３組になる確率」も１６分の１、「Ａクンが４組、Ｂクンも４組になる確率」も１６分の１ですよね。

２人が同じクラスになりさえすればいいのですから、１組でも２組でも３組でも４組でもＯＫですね。
ということは、２人が同じクラスになる確率は、それぞれの確率を足して、
1/16+1/16+1/16+1/16=1/4
ということになります。

ただ、今の問題は、「１５０人の４クラス」で、１５０は４で割り切れないので、それぞれの人が４クラスのそれぞれに配分される確率は同一ではない（同じ確からしさではない）ため、1/4から微妙にずれると思います。
つまり、厳密には、No.3やNo.5の方のように、各クラスへの人数の配分を自分で仮定する必要があると思います。

回答No.11

springside

No.8のspringsideです。
解答を訂正します。
私が書いたように、きっちりと1/4とか1/16ではないですね。
さらに、この問題の場合、各クラスに均等に配分されない（１５０は４で割り切れないから）ので、もっとややこしくなります。

各クラスに均等に配分されるとすれば（人数を4nとします）、この問題は以下のように言い換えられます。
「4n本のクジがあり、各クジには、1、2、3、4という数字がそれぞれ同数（n個）書かれている。このクジを4n人の人が順番に引くとき、その中のAさんとBさんが同じ数字が書かれたものを引く確率を求めよ。」
解答：クジ引きには、引く順番は関係ないから、Aさんが１番目に、Bさんが２番目に引くと考えて良い。すると、Aさん、Bさんがともに1を引く確率は、
(n/4n)×{(n-1)/(4n-1)}　（←Aさんが1を引く確率×Bさんが1を引く確率）
=(1/4)×{(n-1)/(4n-1)}
２人が引くのが、1でも2でも3でも4でもよいので、この確率を４倍して、求める確率は、(n-1)/(4n-1)

お礼

皆様、詳しい回答ありがとうございました。
簡単に言えば４分の１ということですね。
ありがとうございました。
難しいことを言われましても私にはわかりませんでした（苦笑
しかし、皆様、本当にありがとうございました。

回答No.10

noname#24477

簡単な例で
a,b,c,dの４人を２つのクラスに分けることを考えてください。

＃１さんや＃２さんの考え方によれば1/2になってしまいそうですが間違いです。

aさんは他のだれと一緒になるか３通りあります。
だからa,bさんが一緒になる確率は1/3です。

このことから補足に書いているやりかたの
1/2*1/2＝1/4というのも間違いということが分かります。
このやり方はクラス人数が同じでなくても（０人のクラスがあっても）良い場合の
やり方です。

で最初の質問の解答は面倒なのでやめます。
150人でなく148人で考えてみたらどうですか。（クラス人数が同じの場合）

回答No.9

eatern27

クラスの人数に上限がなければ、1/4となりますが、実際は上限があるので、1/4からわずかにずれます。
1～4組の人数配分は#3さんのようにすると、
Ａ君とＢ君が同じクラスになる確率は
5476/22350≒0.24501
1/4よりわずかに小さくなります。

#4さんへの補足に関して
「Ａ君とＢ君が1組で同じクラス」になる確率は約1/16です。
「Ａ君とＢ君が同じクラス」になる確率だから、別に1組で同じクラスにならなくてもいいのです。2組でも、3組でも、4組でもいいのです。2組で同じクラスになる確率も同様に約1/16。3組でも約1/16。4組でも約1/16。
(約1/16)*(4クラス)＝約1/4
となります。

数学の問題でないでしょうから、ここまで厳密にやる必要はなく、1/4よりわずかに小さい、と考えるのが妥当では？

回答No.7

oruka

久しぶりにここをのぞいてみました。
少しきになったので書き込んでみますね。

私はこの確率は４分の１ではないと考えます。
A君が１組になることとB君が１組になることは独立ではないからです。
A君が１組になったとするとA君以外の人が１組に入れる枠が一つ減るのです。
これは一クラスの定員が大きいときはほぼ無視できますが、
定員が少ない場合は結構大きな影響があります。
極端な場合定員が１名クラスだと同じクラスになる確率は０です(^^;
定員が２名だとA君を除いた枠にB君が入れるかどうか考えればよいので、
７分の１となります。

これを拡張して考えていくと一般には次のようになります。
クラスの定員がすべて同数でないとややこしいので、
単純にするため４クラスの合計人数は４の倍数（４ｎ）人とすると、

AくんとBくんが同じクラスになる確率は
（ｎ－１）/（４ｎ－１）　（ｎは自然数）となります。

ご質問の１５０人ですが、
単純のため１４８人（ｎ＝３７）として計算すると
求める確立は　37/147=0.244897959....
となって、わずかに（0.5%ほど）25%を下回ることになります。

もしクラスの人数が均等ではない場合が必要でしたら、
補足して下さい。

回答No.6

tnt

もっとわかりやすい例がありました。

各組１名、各組２名で考えてみて下さい。
各組１名だと、同じクラスになる確率はゼロですね。
クラスの人数は非常に重要です。
各組２名だと、一人目は何処に行っても良いのですが、
二人目は１／９の確率でしか同じクラスには行けません。
もちろん、各組無限大だったら、
確率は１／４です。

回答No.5

tnt

24.50111％、1/4よりも少なくなります。

まず、３番さんの回答との違いを書きますと、
Ｂ君のクラスを決めるときは、
（Ａ君のクラスが決まっているので、分母分子から外れます）
１４９人から決まります。
（３８／１５０＊３７／１４９）＊２＋
（３７／１５０＊３６／１４９）＊２
ですね。

次に２番さんとの回答の違いを書きますと、
はじめにＡ君はどのクラスに行っても良いのですが、
Ｂ君が同じクラスに行くときは、一人そのクラスの定員が
減っているのと同じ現象が起きるという事になるのです。
これは、各組１０人で考えるとわかりやすいです。
Ａ君のクラスを決めてしまうと、
他の組の定員は１０人なのに、Ａ君の居るクラスだけが９人の定員になります。

最後に、１番さんとの回答の違いを書きますと、
機会は均等ではないと言う事になります。
理由は２番さんについて書いたのと同じで、
Ａ君が○組、という仮定を置いた時点で、
機会は均等にはならなくなります。
微妙に他のクラスに行きやすくなるのです。

ちなみに、こういう場合の求め方としては、
私は３番さんの計算法が好きです。

回答No.4

noname#5537

yoppii です。
A君が1組になる事象とB君が1組になる事象は独立ではないのかな。
だとすると私の考えは明らかに間違ってますが。

fushigichan さんや superhug さんの回答が、
各クラスの人数配分が違う場合にも適用できるのか、
私のような一般人には納得出来なくて。

補足

３人の方々、ご回答ありがとうございます。
補足なんですが・・・この考え方はおかしいのでしょうか？
それは例えばAクンが１組になる可能性が４分の１、
Bクンが１組になる可能性が４分の１、
よって１６分の１という考え方です。
あと例えばAクンが１組になる可能性は４分の１ですよね？
これが４分の１なのに２人が同じクラスになる確率も
４分の１なのですか？
長くなってすいません。

回答No.3

noname#5537

各クラスの人数配分を、
1組:38人、2組:38人、3組:37人、4組:37人
としましょう。

A君、B君がともに1組になる確率は、
(38/150)*(38/150)
ともに2組になる確率は、
(38/150)*(38/150)
ともに3組になる確率は、
(37/150)*(37/150)
ともに4組になる確率は、
(37/150)*(37/150)

以上を合計すれば、A君、B君が同じクラスになる確率は、
5626/22500
となって、1/4 よりわずかに大きくなると思うのですが。
どこが間違ってるんでしょうか？

回答No.2

noname#52875

確立は４分の１です。

Ａ君　　　Ｂ君
　　　　　１組・・・同じクラス
１組　　　２組
　　　　　３組
　　　　　４組

Ａ君が１組のとき、Ｂ君がどこのクラスになるかは４通り
同じクラスの確立は４分の1
４クラスなので１６分の４＝４分の1

４クラスと決められているんですから、人数は関係ありません。
仮に、１学年４万人でも、１クラス１万人になり、１万人は同じクラスメイトなのですから。

回答No.1

fushigichan

m-tさん、こんにちは。

まず、クラスを１組、２組、３組、４組としましょう。
Ａ君が、どのクラスになるかは、１組～４組までの４とおり。
Ｂ君も、同じようにして、４とおりの可能性があります。
Ａ君が１組のとき、Ｂ君は、１～４組の４通りの可能性があるので
全体では、４×４＝１６とおり。

さて、Ａ君、Ｂ君が同じ組になるとしたら
（１，１）（２，２）（３，３）（４，４）の４とおりです。

全体が１６通りで、同じ組になるのが４通りなので、
求める二人が同じクラスになる確率は
４÷１６＝１/４

４分の１になりますね。（学年の人数は関係ありません）