特殊相対論 （宇宙線について）

質問

宇宙線が上空で大気と衝突してμ粒子が発生しますよね？
その寿命は非常に短いのはわかります。
しかし光速に近づく程約１００倍伸びるのは調べた結果わかりました。
が、その寿命は地上から見ればどれ位違うのでしょうか？？
また逆に、粒子にとって地上までの距離はどれ位変わるのでしょうか？

基本的な知識が無いのですが、ヒントや公式を教えてもらえれば、とても助かります。
参考になるHPなどでも構いません。お願いします。

回答No.1

noname#175206 · ベストアンサー

以前だと、こういう問題をきちんと数式で理解なさりたい方には「わかる相対性理論（アベリヤノフ著）」をお勧めしていたのですが、絶版となっています。私は本で勉強したので、この問題の式を導出しているHPを知りません。今だと先述の教科書の代わりになりそうなのは、
http://books.google.co.jp/books?id=u_1_ip6U_N8C&pg=PT222&lpg=PT222&dq=%E3%82%BF%E3%82%AD%E3%82%AA%E3%83%B3+%E6%95%B0%E5%BC%8F&source=web&ots=7D9kBZR3Jx&sig=0Sh5MaDUCdjccQ8dpt8x0ZktniQ&hl=ja&sa=X&oi=book_result&resnum=8&ct=result#PPT222,M1
あたりがよさそうです。残念ながらプレビューにこの問題の公式やその導出は含まれていませんが、四則演算と2乗とルートでOKです。そのままローレンツ収縮や、同時刻の相対性まで行けます。そうなると、この問題はおろか「双子のパラドクス」まで解けます。ぜひ勉強なさってください。実に面白いです。
　この問題の公式だけ示しておきます。相対速度をv、光速度をc、地上の時間をt、宇宙線の時間をt0とします。宇宙線の寿命が延びる、というのは地上の観測者の言い分です。それによれば時間の変換式は、
　t=t0/√(1 - v^2/c^2)
となります。分母が1より小さいですから、時間が長くなって宇宙線の寿命が延びることはお分かりと思います。
　ちなみに宇宙線基準でいうと寿命は延びませんが、地上までの距離が短くなって、寿命の尽きないうちに地上に到達できる、ということになります。

お礼

cozycube1様、こんばんは。
夜分遅くに、ご回答ありがとうございます。
ほぉ～…なるほど。の、一言に尽きます。
私自身、物理の学力が無いために感心することばかりです。
じっくり頑張らせて頂きます！

回答No.4

noname#175206

お礼、ありがとうございます。

>粒子にとって地上までの距離はどれ位変わるのか、というものがどうしてもわかりません。

　それが2番目に説明してあるローレンツ収縮なわけですよ。

お礼

ありがとうございます！
ようやく理解できたつもりです！
また機会がありましたらお願い致します。

回答No.3

noname#175206

P.S.

　図が乱れてしまいました。テキストエディタにコピペしてご覧になってください。すみません。

回答No.2

noname#175206

お礼、ありがとうございます。以下の三つを理解すれば、たいていは間に合いますので、ご参考までに。

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１）時間の遅れ
　宇宙船が鏡の側を飛んでいるとします。

　　　鏡 ＿＿Ｃ＿　
　　　　 　／｜＼　
　　　　 光　｜ 光　
　　　 ／　　｜　 ＼
　　　Ａ→→ Ｂ →→Ｄ

　宇宙船はＡで鏡に宇宙船から見て垂直に光を発します。この光は宇宙船内では鏡に反射して垂直に返ってきます。外から見ていると光は斜めに進み宇宙船に戻ります。
　宇宙船の速度をｖ、光速度をｃ、宇宙船で見た光の往復時間をＴ、外から見た光の往復時間をｔだとします。
　あとは単純な幾何学の問題です。三角形ＡＢＣ（と三角形ＣＢＤ）は直角三角形ですからピタゴラスの定理より、

　　ＡＣ^2=ＡＢ^2＋ＢＣ^2

となり、ここで、ＡＣ＝ct/2, ＡＢ＝vt/2, ＢＣ＝cT/2 であることを代入して、

　　(ct)^2/4 = (vt)^2/4 + (cT)^2/4

　あとは順にt,Tを両辺に移動して整理していくと、

　　Ｔ = ｔ√(1-(v/c)^2) ---(1)

という関係になります。
　宇宙船が光速度に近い速度になると宇宙船の時間は（外から見て）ゆっくりになります。もちろん立場を変えて宇宙船から外をみたときは外がゆっくりだ、ということになります。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
２）長さの収縮

　以下のように、宇宙船が速度ｖで地球からＸ星に向かって飛んでいるとします。

　　　｜←－－L(宇宙船にとっての距離)-－－→｜
　地球○－－－－　［宇宙船＞ｖ→　－－－－→●Ｘ星
　　　｜←－－ L0（地球にとっての距離）-－→｜

　宇宙船にとっての地球－Ｘ星間距離 L と地球からみたＸ星までの距離 L0は同じであるかどうか不明ですので、違う記号を用いています。同様に、時間についても、宇宙船がＸ星につくまでの時間が「地球から見て t0」、「宇宙船の時間で t」だとします。
　すると、地球－Ｘ星間の距離はそれぞれの立場で、
　　　宇宙船の立場：L = vt　　　地球の立場：L0 = vt0
となります。すると、

　L = L0*t / t0

となります。これに先の、時間短縮の式(1)を入れて計算してみると、

　L = L0√(1 - (v/c)^2) ---(2)

ということになります。
　これは、アインシュタイン以前に、オランダのローレンツやイギリスのフィッツジェラルドがそれぞれ独自に提案した式と同じなので、ローレンツ・フィッツジェラルド収縮、またはローレンツ収縮と呼ばれます。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
３）同時刻の相対性
　外からみて速度Vで進む列車の中央にＡ、両端にＢＣ、外にＤがいるとします。今、Ａから光を発し、その光が届いた瞬間にＢＣが時計を合わせるとします。例によって光速度をcとします。

　＋－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－＋
　｜ ←－－L0/2－－→←－－L0/2－－→　　　　 ｜
　｜Ｂ　　 Ｂ'　　 Ａ　　　　　　　Ｃ　　 Ｃ'｜　－V→
　｜｜　　　｜　　　｜　　　　　　　｜　　 ｜ ｜
　＋－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－＋
　 　←VTa→←-cTa-→　　　　　　　 ｜　　 ｜
　　 ←－－ L/2－－→←－－L/2 －－→←VTb→
　　　　　　　　　　Ｄ

　さて、列車の中央のＡから光を発射します。列車内のＡＢＣにとっては列車の端にいるＢＣには同時に光が届き、外から眺めているＤにとっては先にＢ、後でＣに光
が届きます。
　ＤからみてＡＢ、ＢＣ間の距離がL/2（ＢＣ間がL）とすると、例のローレンツ短縮で考えて、ＡＢＣにとって、ＡＢ、ＢＣ間はそれより長く、これをL0/2（つまりＢＣ間はL0）と置きます。
　ＡからＢまでの光の届く時間をTa、ＡからＣのをTbとします。上図より、列車の速度と光速度を合わせて考えると、

　VTa + cTa = L/2　∴　Ta = L/2(c+V)
　cTb = L/2 + vTb　∴　Tb = L/(c-V)

となります。よって、時間差Δtは、

　Δt = Tb-Ta = L/2(c+V) - L/(c-V)
　　　= 2VL/(c^2 - V^2)

となります。ここで、例のローレンツ収縮の式(2)を代入すると、

　　　　2vL0√(1 - (v/c)^2)
　Δt= ----------------------
　　　　2(c^2)*(1 - (v/c)^2)

　　　　　　vL0/c^2
　　　= ------------------　　　---(3)
　　　　　√(1 - (v/c)^2)
となります。
　列車の中で離れて置かれたぴったり同時刻の時計は外から見ると、これだけ先頭側が遅れることになるわけです。
　また、上式(3)から分かる通り、L0が大きいほど、つまり距離が大きいほど時刻差が大きくなる点に注意してください。
　つまり外からの観測では、走る列車では、列車最後尾から先頭側にかけて、連続的に時刻が過去になっていっており、その過去の時刻は最後尾からの距離に比例するわけです。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

お礼

再度のご指南感謝致します。

寿命は地上から見ればどれ位違うのか、というものはわかったのですが、粒子にとって地上までの距離はどれ位変わるのか、
というものがどうしてもわかりません。具体的に、上空10kmや20km等と考えればわかりやすいのでしょうか？