数Ⅲ

質問

すべてのx.yについて、f(x+y)=f(x)+f(y)が成り立っているとする

すべての整数がn≠0の場合

f(1/n)=f(1)/nであることを証明せよ。という問題何ですが、どんなふうにやればよいか詳しく教えてください。

回答No.7

owata-www

＞f(1/n)=1/n{f(1/n)+f(1/n)+・・・+f(1/n)}
じゃなくて
f(1/n)=f(1/n)+f(1/n)+・・・+f(1/n)ではダメなんですか？

ダメですね（だって、これを計算するとf(1/n)＝0になりますし…）

＞f(3)=f(1)+f(1)+f(1)
=f(1+1+1)
=f(3)
となるように1/nみたいなのは、いらないんじゃないんですか？

この式自体は合ってます、しかしこの式でも
f(3*1)＝3*f(1)
ということでf(nx)＝nf(x)が成り立っていますし

f(1/(1/3))＝1/(1/3)*f(1)と解釈すれば（3＝1/(1/3)と直しています）
f(1/n)＝1/n*f(1)が成立します　まあ、nは整数ではないですが

回答No.6

owata-www

＞nf(x)=f(nx)はわかるんですが

だったら、nf(x)=f(nx)にx=1/nを代入すれば
nf(1/n)＝f(n*1/n)＝f(1)

となります、どこがわからないのでしょうか…

補足

n＞0のとき

f(1/n)=1/n{f(1/n)+f(1/n)+・・・+f(1/n)}
じゃなくて
f(1/n)=f(1/n)+f(1/n)+・・・+f(1/n)ではダメなんですか？

例えば、
f(3)=f(1)+f(1)+f(1)
=f(1+1+1)
=f(3)
となるように1/nみたいなのは、いらないんじゃないんですか？

回答No.5

owata-www

＞f(1/n)=1/n{f(1/n)+f(1/n)+・・・+f(1/n)}と解答にあるんですが、どうして1/nが{}の外に出ているんですか？

f(1/n)=1/n*nf(1/n)=f(1/n)=1/n{f(1/n)+f(1/n)+・・・+f(1/n)}です

まあ、似たようなことは＃３に書いたつもりなんですが…

どうしてもピンと来なければ
f(nx)=nf(x)、ｎは自然数
というのを数学的帰納法で示して（f((k+1)x)＝f(kx)+f(x)より容易）
x=1/nを代入すればいいかと

負については＃４さんの仰るようにやってください

補足

すいません。まったくわかりません。

nf(x)=f(nx)はわかるんですが、1/nはf(x)に代入しているんですか？せれともf(x+y)に代入しているんですか？
f(x+y)ならx+y=1/nってことですか？

回答No.4

arrysthmia

n が負のときの工夫：

まず、自然数 n について、帰納法で
f(n x) = n f(x) を証明する。その後…

f(0 + 0) = f(0) + f(0) より、f(0) = 0。

これを使って
f(x - x) = f(x) + f(- x) より、f(- x) = - f(x)。

n < 0 のときは、
f(n x) = f(- |n| x) = |n| f(- x) = |n| { - f(x) } = (- |n|) f(x) = n f(x)。

x = 1/n を代入すれば、完了。

補足

n＞0のとき

f(1/n)=1/n{f(1/n)+f(1/n)+・・・+f(1/n)}
と解答にあるんですが、どうして1/nが{}の外に出ているんですか？あと、上のがf(1)/nに何でなるんですか？詳しく教えてください。

回答No.3

owata-www

f(1/n+1/n)＝f(2/n)＝f(1/n)+f(1/n)
同様にして
f(3/n)＝f(2/n)+f(1/n)＝{f(1/n)+f(1/n)}+f(1/n)
…
f(n/n)＝f((n-1)/n)+f(1/n)＝{f((n-2)/n)+f(1/n)}+f(1/n)…

これをうまくまとめてください

補足

n＞0のとき

f(1/n)=1/n{f(1/n)+f(1/n)+・・・+f(1/n)}
と解答にあるんですが、どうして1/nが{}の外に出ているんですか？あと、上のがf(1)/nに何でなるんですか？詳しく教えてください。

回答No.2

owata-www

ああ、ごめんなさい　勘違いしてました

kf(1/n)＝f(k/n)ってことで
f(2/n)＝f(1/n)+f(1/n)
とお考え下さい

補足

その考え方がよくわからないんです。

回答No.1

owata-www

簡単に言えば
f(2)=f(1)+f(1)
f(3)=f(2)+f(1)
…
f(0)=f(-1)+f(1)=0
f(-2)=f(-1)+f(-1)
…

と考えていけばいいかと
まあ、思いつかなければ数学的帰納法を使えばいいと思いますが（負の時は工夫が必要）