加法、乗法と数直線など

質問

中１の子供に教えていて困りました。

1+1: 1にいて、右に1動くから2
1-1: 1にいて、左に1動くから0
とやっていたんですが、
1x2: 1にいて、1の2倍右に動くから3？？
となって混乱してしまいました。

加法と乗法では数の意味が違う？基数と序数？単位数と無名数とか色々駆け巡って収拾つきません。

また、
3回テストをやって全部100点なら、100x3=300点はOkなのに
3回テストをやって全部1位なら、1x3=3位はNGなのは何故？
にも答えられません。

詳しい方、どうぞ宜しくお願いします

回答No.3

KonnaMonde · ベストアンサー

>1+1: 1にいて、右に1動くから2　　1-1: 1にいて、左に1動くから0　　とやっていたんですが、

数直線を、数値の移動と考えると、うまくいきません。　長さの、加減と考えてください。

「1+1: 1にいて、右に1動くから2」　でなくて、“０”から“１”までの長さを、“１”の位置から (０～１の意味) 右の方に付け加えると　(加法)、“２”の (０～２の意味)　ところに来る。　答えは、“２”。　以下同様、ある数の長さの基準点は“０”です。　
　-1　０　１　２　３　
　　　　　　０　１
定規を２本目盛と目盛りを合わせてスライドさせながら使うと解りやすいです。　定規の目盛を数直線と考えてください。
足すときは、たされる数に足す数の“０”を合せ、たす数の目盛に対応する足される側の数直線上の値が、答えとなります。
目盛りは違いますが、計算尺と同じ原理です。　両対数目盛りを施した計算尺では、乗除算ができます。

「1-1: 1にいて、左に1動くから0」は、“１”の位置から、“０～１”の長さを左の方に差し引くと　(２つの長さの右をそろえる)(減法)、“０” の位置に来るから、答えは “０”。
　-1　０　１　２　３　
　　　　０　１
ついでに、１－３　は同様に、“１” の位置から、長さ “３” (０～３までの長さ) を差し引くと “－２” の位置に来るから、答えは　“－２”。　
-3 -2 -1 ０　１　２　３
　　０　１　２　３
引き算の場合には、引かれる数の値に引く数の値を合わせ、引く数の側の“０”に対応する、引かれる側の数直線上の値が、答えです。

これでお分かりのように、数直線が理解できると、全ての加減算が出来るようになります。
ちなみに、減法は、加法の逆算をするために考え出されました。　負数を習うと、減法は必要がなくなり、すべて加法で計算できます。

「リンゴを、姉に２個、弟に３個あげました。　りんごは全部でいくつですか？ 」(加法)　というような問題の逆で、「リンゴが全部で５個ありました。　３人の兄弟に２個ずつあげまようと思います。　幾つ不足していますか？」のような問題 (逆算) では正の整数だけで計算できません。(５-２-２-２＝？)
このような逆算を可能とするために、“０”や負数が導入され、始めて数直線が完成しました。

>1x2: 1にいて、1の2倍右に動くから3？？

「1x2」 は、単に１を２倍しただけなので、「1にいて」 という意味は含まれていません。　数直線で言うと、０～１を２倍した長さ＝２ (０～２) を表しただけで、その長さをどこからどうするのかという対象と方法がないと、足し算引き算にはなりません。

>加法と乗法では数の意味が違う？

乗法は、加法の特別なケースである、累加 (同じ数値を何回か加える) を早く計算するために考え出されたものです。　
例えば、２＋２＋２を考えるとき、乗法を使って ２ ｘ ３ とします。　数直線上では、“０” を起点として、０～２の長さを順次右方に加えていくだけですので、加法も乗法も数の意味は同じことです。

>基数と序数？

基数は、数そのもので、加減乗除が出来るもの。 １：いち、ひとつ、１歳、１年など。　
序数は、順番を表わす時の数で加減乗除はできません。 第１番、１番目、１年生、１９世紀など。

>単位数と無名数

単位数 (名数) は単位の付いている数。　１ｍ、２０Kg、３００円 などなど。
無名数 (無次元数) は単位の付いていない数。 比率、原子量、マッハ数 などなど。

>3回テストをやって全部100点なら、100x3=300点はOkなのに、 3回テストをやって全部1位なら、1x3=3位はNGなのは何故？

テストの点数は、基数で、名数なので、計算可能。
「1位」は、順位、順番を表わす数＝序数なので、計算はできません。

お礼

本当に詳細にありがとうございました。完全に氷解しました。

回答No.4

kichikara

先ず、数直線上の掛け算から

　「１」が「一つ」ある　１×1＝１
　「１」が「二つ」ある　１×２＝１＋１
　「１」が「三つ」ある　１×３＝１＋１＋１
　「１」が「四つ」ある　１×４＝１＋１＋１＋１

　掛け算とはこう云うものですね。先の方の回答にありますが、「面積で考える」とは、【縦30cm、横40cmの箱に一辺10cm正方形のお餅を詰めると、いくつ入るか】と云う問題で云えば、
【縦に三つ並んで入る、この三つ並びが横に四つ並ぶ】
＝３＋３＋３＋３
＝３×４＝12　∴【12個】
と云う事ですね。

　数直線上の移動で現すなら、最初に「１」の位置を指す、これが既に【一回目の移動】に相当します。【二回目の移動】で「２」となります。「３×４」なら最初に「３」を置いた時点で一回目、二回目の移動で「６」、三回目の移動で「９」、四回目の移動で「１２」です。

　一位を三回取ったら三位か。

　100点満点が10人居る(＝一位が10人存在する)簡単だったテストと、100点満点中、最高点75点が独りだけと云う難しかったテストとでは内容が違いますね。
　例えば或る中学生が、幼稚園児５人と50m程かけっこをして一位、クラスメイト12人と100メートル走をして四位、インターハイ陸上400mに飛び入り出場して９人中八位だった時、総合13位と云う評価を与えられるでしょうか。あんまり馴染みませんね。
　序列を現す数(序数)は、或るデータ(試験の得点等)を大きい順(若しくは小さい順)に並べて、端から1,2,3、、、と順番に自然数を振って付ける訳で、「値」として他の結果と同列には扱えない。誰もが100点取れるテストでみんな同率一位の「一位」と、ただ独り1/4しか間違えなかった「一位」とを同じまな板の上で料理すべきではないと云うことです。
　そもそも端から順に自然数を振るのだから、「一位」を三回取った人が「総合三位」なら「総合一位」と「総合二位」はどうなるのでしょう。

　解決へのアプローチとしては

*順位を振る基になったデータ(試験の得点等)を総合し、順位を振りなおす。
　例；二回のテストでの総得点が175点、これ以上の得点者が居なければ、これが「一位」

*便宜的に平均順位を算出する
　例；（１位＋１位＋１位）／受験回数：３回　＝1.0位
　例；（２位＋５位＋３位）／受験回数：３回　＝3.3位
　例；（３位＋２位＋２位）／受験回数：３回　＝2.6位

*「一位を何回取ったか」をデータとして扱い順位を振る。
　例；オリンピックで金メダルの数を競うような物。世界記録を更新できなくても(＝過去にもっと成績の良い人が居ても)今大会一位には金メダル。柔道の「金」と体操の「金」は内容は全然違うけどとにかく今大会一位には金メダル。金メダルを３個取った国は３位、金メダルを15個取った国が15位、ではないですよね。

　いかがでしょうか。

お礼

またまた詳しいご説明ありがとうございます。皆さんのご説明とあいまって良く理解できました。

回答No.2

arrysthmia

最初 0 に居て、右へ 1 動けば 1、
その 2 倍の距離動けば 1×2 の位置へ移る
ということではないですか？

1位×3 については、それが量ではなくて、
単なる名前だから 3 倍できない。
国道 3 号を行く替わりに
国道 1 号を 3 回通っても、
目的地には着けませんね。

お礼

ありがとうございました。
大学時代に、友人が哲学科で数学基礎論をやっていて、数の基礎は序数なのか、基数なのか議論していたのを思い出しました。「単なる名前」＝序数ですよね．．．。

回答No.1

FEX2053

乗法は積分、即ち次元変換だと考えるんです。

１×２は、Ｘ軸方向に１、Ｙ軸方向に２、進んだ先までの点を意味し、
そこと(0,0)で出来る長方形の面積が「２」ですから、１×２＝２に
なるのです。乗法では、式の右辺の「結果」と、左辺の「項目」は
全然別の種類のものなんですね。

ちなみに1位3回が何故3位じゃないか、もこれで考えることが出来ます。
「位」は順番で面積として表示できる性質のものじゃないです。です
ので掛けても面積として表示できないですが、「点」は面積として表示
できる性質のものですから、掛け算が成立するんですね。

ちなみに加法であっても「位」は「長さ」として表示できるものでは
ない（順序として考えるもの）ので、1位と1位の人を合わせても、
2位にはならないですよね。計算するのは「1位の人から何番ずれた」
です。「ずれ」は長さとして表示できますので、計算が可能なんですよ。

お礼

分かりやすい説明ありがとうございます。

基数、序数にこだわるようで申し訳ありませんが、序数同士は加法も乗法も意味を成さないと考える事になりますか？。

ということは、最初の例の1+1についても、数直線上の1に居る、ではなくて、+1と見て、0から右に1動いたという動きとして捉える事になりますか？。私の説明だと、加法の最初の数だけ序数になっているようで、
上手く統一的に説明できない事になっているように感じていますが、
そういうことでしょうか。