ε δ論法による自分の証明のやり方

質問

x→1ならばx^2→1
の証明なんですが、
よく
|x^2-1|≦|x-1|^2+2|x-1|なので、
0<|x-1|<δ⇒|x^2-1|<δ^2+2δ(<ε)
つまり、δ^2+2δ<εで十分で、
0<δ<1と条件を増やしてδ^2+2δ<δ+2δ<3δ<εとなりますから、
ε=min{1,δ/3}と、εをとってやればよい。

という風にやると思いますが、以下のようなやり方はいいのでしょうか。

δ＝√(1+ε)-1とすると
|x^2-1|≦|x-1|^2+2|x-1|＜δ^2+2δ＝ε
・・・・・

独学でやっているのでいいのかどうか不安でした。
よろしくお願い致します。

回答No.4

noname#101199

遅れてすいません。
新たな質問の意味をいまいちよくわかりきっていないので、見当違いの回答をしていたらごめんなさい。

おっしゃる通り、εではない他のε'を使うことはあります。
ε'=ε/2などとおいて、|～～|<2ε'=ε みたいな形にもっていくことがあります。

例えば、「関数fとgがaで連続⇒fgがaで連続」ということを示したい場合、正の数MをM=max{|g(a)|+1,|f(a)|}ととり、あるδ1,δ2,δ3>0に対してδ=min{δ1,δ2,δ3}とおくと、
|x-a|<δ⇒|f(x)g(x)-f(a)g(a)|<2Mε'
であることが示せます。
そこで、2Mε'=εとして証明を終了させることがあります（M>0より2Mε'>0 for all ε'>0なので、どちらにしろfor all ε>0と言ってることは変わりないので）

見当違いの回答でしたらごめんなさい><

お礼

いえいえ、こちらの分かりにくい質問に対し
わざわざ推測してくださってありがとうございました。
すっきり解決することができました。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#101199

こんにちは。お久しぶりです。
前の回答が締め切られていたので訂正できませんでしたが、
以前私の回答のε=min{1,δ/3}は、おっしゃるとおり、δ=min{1,ε/3}の間違いです。
最後うっかり間違えてしまいました、すいません。私たちが選べるのはδの方です。私はたかが工学部教養の数学程度しか学んでないんで、あまり数学的な厳密性は信用しないでくださいね^^;笑

今回の質問についてですが、
δ＝√(1+ε)-1で大丈夫だと思います。
|x^2-1|≦|x-1|^2+2|x-1|<δ^2+2δ=ε
から、δ=-1+√(1+ε) (δ>0)なので、
δ=-1+√(1+ε)でいいことがわかりますね。

No.1さんのおっしゃっていることを言い換えただけですが、要は
「どんな小さなε>0が出てきたとしても、0<|x-1|<δ⇒|x^2-1|<ε　を満たすようなδ>0をこちらは用意できる」ということが示せればいいですね。
つまり、こちらがδ＝√(1+ε)-1としたとき、all ε>0に対して0<|x-1|<δ⇒|x^2-1|<εがいえてればいいわけです。試してみましょう。

prf.
|x^2-1|≦|x-1|^2+2|x-1|である。
従って、0<|x-1|<δ⇒|x^2-1|<δ^2+2δである。

今、δ=√(1+ε)-1ととると、δ^2+2δ=εである。
よって、|x^2-1|<δ^2+2δ=εであり、
0<|x-1|<δ⇒|x^2-1|<εがいえる
■

このようにδ=√(1+ε)-1としてもいいんですが、この解き方は制限が強くて息がつまりそうな感じですよね。以前インカレの友達も同様の解き方で解いていましたが、x→1⇒x^3→1の証明でつまってました。このやり方では3次方程式を解かなくてはならなくなりますからね。。

前回回答した方法以外にもう１つよく使う方法を紹介します。
三角不等式を用いる方法です。
0<|x-1|<δ⇒
|x^2-1|=|x+1||x-1|
<|x+1|δ
≦(|x|+1)δ…（|x+1|≦|x|+1)
<(δ+2)δ…(|x|-1≦|x-1|(<δ)を利用。これから|x|+1<δ+2)
=δ^2+2δ ですね。
あとは、前回と同様にδ≦1としてやれば、前回同様に
δ≦min{1,ε/3}にとればよいことがわかります。

お礼

毎回丁寧な回答ありがとうございます。
確かに三次ですと無理ですね。
δの範囲を仮に作って、min{}とすればいいのですね。
機械的に逆算してδをεであらわそうとするのは
無理があるということが分かりました。
ところで
「δ=√(1+ε)-1としてもいいんですが、この解き方は制限が・・」
とおっしゃいましたが、
では√(1+ε)-1より小さいもっと簡単なεの式が仮にあったとすれば
それを証明に使うことはできるのでしょうか。
つまり
δ^2+2δ＜（εの簡単な式）^2+2(εの簡単な式）＜新たなεの式＜ε
のような流れでできるかということです。

度々質問すみません。

回答No.2

enjoyq

もう一度見返してみたのですが、質問者さんが単に、
入力ミスをされただけで、
δ＝√(1+ε)-1→δ＜√(1+ε)-1
ということでしょうか？
それならば、その解答でも問題ないと思いますよ。

回答No.1

enjoyq

要は
「あらゆるε>0に対して、あるδ>0が存在して、0<|x-1|<δのときに|x^2-1|<ε」
を言えばよいわけです。

だから、 |x^2-1| = |(x-1+2)(x-1)| < |x-1|^2 + |x-1|より、
|x-1|^2 + |x-1|<εが言えれば十分ということになります。

ここで、0<|x-1|<δより、|x-1|^2 + |x-1|<δ^2+δなので、
δ^2+δ<εとなるデルタが存在することを言えれば十分です。

それで、考えてみると、グラフを描いてみればわかるようにこれが満たされるのは、-√(1+ε)-1<δ<√(1+ε)-1のときです。

0<δという条件にも注意して、0<δ<√(1+ε)-1ならば、条件が満たされるといえました。

質問文を見るに、イプシロンのほうを勝手に決めてよいと考えておられるようですが、逆で、δのほうが勝手に決められる数です。

こんなんでどうでしょうか。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。