電磁気学の計算を教えて下さい。

質問

http://imagepot.net/view/123777895158.jpg

マクスウェル応力のところで出てくる計算なのですが、
この計算の第１式→第２式と第２式→第３式の計算をどうやっているのかが分かりません。

いろいろ調べてみましたが全く分かりませんでした。
どなたか教えて下さい。

回答No.2

noname#161582 · ベストアンサー

第３式の電場の部分である第1項と第2項のx成分は(ε0は省略)
Ex(∂Ex/∂x+∂Ey/∂y+∂Ez/∂z)-Ey(∂Ey/∂x-∂Ex/∂y)+Ez(∂Ex/∂z-∂Ez/∂x)
＝Ex(∂Ex/∂x+∂Ey/∂y+∂Ez/∂z)+(Ey∂Ex/∂y+Ez∂Ex/∂z)-(Ey∂Ey/∂x+Ez∂Ez/∂x)
ここでこの式の第2項にEx∂Ex/∂xを、第3項に-Ex∂Ex/∂xを加えれば(トータル0を加えるので式の値は不変)
Ex(∂Ex/∂x+∂Ey/∂y+∂Ez/∂z)+(Ex∂Ex/∂x+Ey∂Ex/∂y+Ez∂Ex/∂z)-(Ex∂Ex/∂x+Ey∂Ey/∂x+Ez∂Ez/∂x)
この式の第1項と第2項をまとめて
∂(ExEx)/∂x+∂(ExEy)/∂y+∂(ExEz)/∂z
第3項は
-(1/2)[∂(Ex^2)/∂x+∂(Ey^2)/∂x+∂(Ez^2)/∂x]＝-(1/2)∂(E^2)/∂x
まとめると第３式の電場の部分のx成分は
∂(Ex^2-(1/2)E^2)/∂x+∂(ExEy)/∂y+∂(ExEz)/∂z
となります。磁場の部分の計算法もまったく同じです。更にy成分とz成分の計算も同様です。

回答No.1

noname#161582

マクスウェル方程式から
∇・E＝ρ/ε0　→　ρ＝ε0∇・E
∇×B＝μ0(J+ε0∂E/∂t)　→　J＝(1/μ0)∇×B-ε0∂E/∂t
第１式のρとJに上の式を代入すると第２式です。
外積の順序が第１式では「～×B」、第２式では「B×～」と逆になっているので
符号に注意してください。

第３式の第1項と第4項と第5項は第２式のままです。
マクスウェル方程式∇×E＝-∂B/∂tを使うと、
第2項+第6項＝-ε0E×(∇×E)-ε0E×∂B/∂t＝ε0E×∂B/∂t-ε0E×∂B/∂t＝0
またマクスウェル方程式∇・B＝0より第3項＝0です。

結局第３式は第２式に0を加えているので第２式＝第３式です。
このように変形することにより
ε0E(∇・E) と (1/μ0)B(∇・B)
-ε0E×(∇×E) と -(1/μ0)B×(∇×B)
ε0B×∂E/∂t と -ε0E×∂B/∂t
のようにEとBの式を対称な形にすることができます。

お礼

ありがとうございます。

出来れば第3式→第4式の変形も教えて頂けないでしょうか？

第3式の最後の２項が第4式では一つのExBの外積になっていることは分かるのですが、
その前の４つの項がどうやって変形されているのかが分かりません。

よろしくお願い致します。