ラプラス変換で・・・

質問

未知関数ｙ＝ｙ（ｔ）は０＜＝ｔでは値が０で、
ｙ（ｔ）－３ｙ（ｔ－１）＝ｔ＋１
という関係があるｙ（ｔ）をラプラス変換で求めたいのですが、どうもよくわかりません。
指数倍の平行移動の性質を使うのかなぁとは思うのですが・・・

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度まで

未知関数ｙ＝ｙ(ｔ)は0≧ｔ(tがゼロより小さい）では値が０で、
ｙ（ｔ）－３ｙ（ｔ－１）＝ｔ＋１
のラプラス変換ですね。
y(t-1)のラプラス変換が出来れば変換できますね。。
∫[0→∞］y(t)e＾-st dt=Y(s)
∫[0→∞］ｔe＾-st dt=1/s＾2
∫[0→∞］y(t-1)e＾-st dt=
t-1=x　と置くとy(t-1)=y(x), dt=dx, t=x+1
=∫[-1→∞］y(x)e＾-s(x+1)dx=
{e＾-s}*{∫[0→∞]+∫[-1→0]}y(x)e＾-sx dx
={e＾-s}Y(s)+ ∫[0→1]}y(-x)e＾sx dx
={e＾-s}Y(s) :0≧ｔ, y(t)=0 故：

y(ｔ)－3y(ｔ－１)=ｔ＋１
→Y(s)-3(e＾-s)Y(s)=1/s＾2 +1/s
Y(s){1-3(e＾-s)}=1/s＾2 +1/s
y(s)={1/{1-3(e＾-s)}}{1/s＾2 +1/s}

式の解釈があっているかどうかわかりませんが、
y(t-1)であればちょっと逆変換は反転公式を使わないといけないかも。

回答No.2

stomachman

y(t-1) = y(t)*δ(t-1) （*は畳み込み積分）
ですから、
y(t)-3(y(t)*δ(t-1))=t+1
ラプラス変換すると
Y(s)-3Y(s)exp(-s)=1/(s^2)+1/s
すなわち、
Y(s)=(1+s)/(s^2)/(1-3exp(-s))
と、まあここまでは良いでしょうけど、このあとが面倒ですねえ。分母にある
(1-3exp(-s))
というのが、「exponentialに増大するということを除けば、周期性を持つような関数」とでも言うしかないようなヨクワカラン代物を暗示しております。（これが(1-exp(-s))なら、単に周期性を言っているに過ぎない訳ですが。）

それで、ラプラス変換のことは忘れてみたらどうでしょうか。つまり方程式
y(t)-3y(t-1)=t+1
を満たすy(t)をとにかく見つけてみようという訳です。
ところがこの方程式はどうも曖昧です。どう解釈すれば良いのでしょう？
方程式がt＜0の時でも成り立つ、ということを要求すると、
t≦0のときy(t)=0
であることと両立しません。なぜなら、
y(-10)=0, y(-9)=0
なら
y(-9)-3y(-10)=-9+1
となって
0=-8
ですもんね。
だから、
y(t)-3y(t-1)=t+1
はt≧0のときだけ成り立つと考えるべきでしょう。従って、
1＞t≧0のとき、y(t)=t+1
でなくてはなりません。（∵y(t-1)=0ですから。）

一方、
y(t)=f(t)+bt+c
f(t)=3f(t-1)
としてみると、方程式は
f(t)+bt+c-3f(t-1)-3b(t-1)-3c=t+1
ゆえに
-2bt+3b-2c=t+1
でなくてはならず、よって、
b=-1/2, c=-5/4
と決まります。
これだけだと、f(t)は
f(t)=3f(t-1)
を満たしさえすれば何でも良い。たとえば
f(t)=a(3^t)　　（aは任意の定数）
なんてのを思いつきます。a=0でも構わない。或いは[t]をtを越えない最大の整数とするとき
f(t)=a(3^[t])
でも良い。これは階段状になっています。はたまた
f(t)=a(3^[t])sin(2πt)
だって構わない訳で、いやいやそれどころか
tが有理数のとき、f(t)=(3^[t])sin(2πt)
tが無理数のとき、f(t)=-100(3^[t])((sin(100πt))^99)
なんてハチャメチャの関数でもアリです。

ところが
1＞t≧0のとき、y(t)=t+1
という条件を考慮しますと、f(t)を好き勝手に選ぶ訳には行かなくなります。
1＞t≧0のとき、y(t)=f(t)-(1/2)t-5/4=t+1
より
1＞t≧0のとき、f(t)=(3/2)t+9/4
でなくてはなりません。そして
f(t)=3f(t-1)
なのだから
t=1のときf(t)は不連続になります。なぜなら
t→1のとき(3/2)t+(9/4)→15/4
f(1)=3f(0)=3(9/4)=27/4
ですからね。同様にtが自然数のときf(t)は不連続点を持つことになります。
つまり、
f(t)=(3^[t])((3/2)(t-[t])+9/4)
と表されるでしょう。まとめると
y(t)=(3^[t])((3/2)(t-[t])+9/4)-(1/2)t-5/4
ということになります。ひえ～

問題の解釈が合っているかどうかよく分からないから「自信なし」です。