鍵の開く確立を教えてください

質問

次の事例で鍵があいてしまう確立の計算式を教えてください。
１０８０ケのロッカーの扉があります。鍵の番号違いは１００種類しかないので、１０本（11本？）は同じ鍵が存在しています。
１０８０人の人がそれぞれ鍵をもって、任意のロッカーに差し込んだとき、
そのロッカーが開いてしまう確立の求め方です。

回答No.2

chie65536（@chie65535）

＞そのロッカーが開いてしまう確立の求め方です。

念の為に聞きますが「１０８０個のロッカーのうち、どれか１個以上のロッカーが開いてしまう確率」ではないのですね？

１個の鍵で１個のロッカーが開く確率は１００分の１です。

さて、ご質問が

１０８０個のロッカーのうち、どれか１個以上のロッカーが開いてしまう確率

だとします。

１個の鍵で１個のロッカーが開く確率は１００分の１ですが、逆に言うと、１個の鍵で１個のロッカーが開かない確率は１００分の９９です。

すると、どれか１つ以上が開く確率は「１－１００分の９９」です。

鍵とロッカーを２組にした場合「どちらも開かない確率」は「１００分の９９の２乗」です。

すると、どれか１つ以上が開く確率は「１－１００分の９９の２乗」です。

鍵とロッカーを３組にした場合「どれも開かない確率」は「１００分の９９の３乗」です。

すると、どれか１つ以上が開く確率は「１－１００分の９９の３乗」です。

鍵とロッカーを１０８０組にした場合「どれも開かない確率」は「１００分の９９の１０８０乗」です。

すると、どれか１つ以上が開く確率は「１－１００分の９９の１０８０乗」です。

１００分の９９の１０８０乗（どれも開かない可能性）は約0.00193201％ですから、１個以上開く確率は99.99806798％くらいです。

意外ですが「ほぼ間違い無く、どれかは開く」って事ですね。

なお、上記は「鍵の番号とロッカーの番号には、関連性が無い」として計算しています。

「鍵の番号とロッカーの番号には、関連性があり、鍵とロッカーがセットになっている」と言う場合、結果は全然違います。

例えば、１０８０組を１組に減らせば、開く確率は100％です。

例えば、１０８０組を２組に減らせば、開く確率は50.5％です。

１００分の９９の確率で、この２組の鍵の番号は異なります。

鍵の番号が異なる場合、どっちかが開けばもう片方も開くし、どっちかが開かないならもう片方も開きません。つまり「どっちも開くか、どっちも開かないか」の２通りなので、５０％です。

１００分の１の確率で、この２組の鍵の番号は同じになります。

鍵の番号が同じ場合、１００％開きます。

１００分の９９の５０％と、１００分の１の１００％を足すと、50.5％です。

このように「鍵とロッカーがセットになっている」と言う条件を付けた場合、鍵番号の組み合わせをすべて検討しなければならず「どれか１つ以上が開く確率」を求めるのは結構大変だと思います。

お礼

ありがとうございます。少し整理してみます。

回答No.1

BookerL

「確立」ではなくて「確率」ですね。

　鍵の種類ごとのロッカーの数が均一かどうかという情報がないので、どのロッカーもある鍵に合う確率は 1/100 という以外に考えようがないと思いますが。

お礼

ありがとうございます。