力学的エネルギーの問題です

質問

はじめまして

物理Iの問題で納得できないところがあるので教えてください。

ばね定数25N/mのばねの上端を固定し下端に1.0Kgのおもりを取り付けると、自然長からa[m]だけ伸びてつりあった。この状態から速さ1.0m/sでおもりを下向きにはじくと、ばねはさらにx[m]だけ伸びた。a[m]とx[m]を求めよ。

という問題です。

答えはa=0.39m x=0.20mなのですが、なぜxが0.20になるのか分かりません。

授業で教えてもらったxを出す式が
1/2*1*1*1+1/2*25*9.8/25*9.8/25-9.8*9.8/25=1/2*25*(9.8/25+x)*(9.8/25+x)-9.8*(9.8/25+x)
です。

立式の方法がよく分かりません。
特に左辺の意味がわかりません。どうかよろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞
授業で教えてもらったxを出す式が
1/2*1*1*1+1/2*25*9.8/25*9.8/25-9.8*9.8/25=1/2*25*(9.8/25+x)*(9.8/25+x)-9.8*(9.8/25+x)
です。

それは非常に不親切な教え方ですね。
文字式で書いて、その後に代入するという教え方でないと。

ｋ：ばね定数
ｍ：おもりの質量
ｖ：はじかれた直後の速度（下向き）
ｇ：重力加速度

はじいた直後の力学的エネルギーの合計
　＝　おもりの運動エネルギー　＋　ばねのエネルギー　＋　位置エネルギー
　＝　１／２・ｍｖ^2　＋　１／２・ｋａ^2　－　ｍｇａ

最も伸びたときの力学的エネルギーの合計
　＝　おもりの運動エネルギー　＋　ばねのエネルギー　＋　位置エネルギー
　＝　０　＋　１／２・ｋ（ａ＋ｘ）^2　－　ｍｇ（ａ＋ｘ）

エネルギー保存則より、２つの式がイコールで結ばれるので、

１／２・ｍｖ^2　＋　１／２・ｋａ^2　－　ｍｇａ
　＝　０　＋　１／２・ｋ（ａ＋ｘ）^2　－　ｍｇ（ａ＋ｘ）

代入。
１／２・１・１^2　＋　１／２・２５・（９．８／２５）^2　－　１・９．８・（９．８／２５）
　＝　０　＋　１／２・２５・（９．８／２５　＋　ｘ）^2　－　１・９．８・（９．８／２５　＋　ｘ）

合いました。

だけど、まだ、代入するのが早すぎますね。
ぎりぎりまで文字のまま計算してから代入するのが合理的です。

１／２・ｍｖ^2　＋　１／２・ｋａ^2　－　ｍｇａ
　＝　０　＋　１／２・ｋ（ａ＋ｘ）^2　－　ｍｇ（ａ＋ｘ）

ｍｖ^2　＋　ｋａ^2　－　２ｍｇａ　＝　ｋ（ａ＋ｘ）^2　－　２ｍｇ（ａ＋ｘ）
ｍｖ^2　＋　ｋａ^2　－　２ｍｇａ　＝　ｋ（ａ^2 ＋ ２ａｘ ＋ ｘ）^2　－　２ｍｇ（ａ＋ｘ）
ｍｖ^2　＝　ｋ（２ａｘ ＋ ｘ）^2　－　２ｍｇｘ
さっきより簡単な式になりました。

さらに、ｘについて整理して、二次方程式の解の公式に文字式をぶち込んでから代入するとよいと思います。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

ありがとうございました。

おかげで理解することが出来ました。

回答No.1

icoittfd

ではまず右辺から。

右辺はばねがｘだけ伸びた状態での
力学的エネルギーの総和です。

1/2*25*(9.8/25+x)*(9.8/25+x)
＝ばねの弾性エネルギー。
9.8*(9.8/25+x)
＝おもりの位置エネルギー。

対して左辺は、弾く前の状態のエネルギーに
弾いたことによる運動エネルギーが足されたものです。

具体的に言えば、
1/2*1*1*1
＝弾くことで与えられた運動エネルギー

1/2*25*9.8/25*9.8/25
＝おもりを弾く前のばねによる弾性エネルギー。

9.8*9.8/25
＝おもりを弾く前の位置エネルギー。

まとめますと、右辺は弾かれた後での
力学的エネルギーの総和、

左辺は弾く前の力学的エネルギーの総和に、
弾いたことによる運動エネルギーが加わった、という意味。

左辺と右辺が力学的エネルギー保存則によって"＝"で
結ばれるということですね。