- ベストアンサー
式の途中と終わり
また面白い問題を見つけてきました。今回は、ある程度式は たてられたけど、まだ続きがあったよというものです。 問 A君のクラスでは毎朝、英語、国語、数学のいずれかのミニ テストが行われる。それぞれの科目が出題される割合は、 英語:国語:数学=2:1:2である。A君は英語と国語は 3回に1回の割合で満点をとり、数学は4回に1回の割合で 満点を取ることができる。ある日ミニテストでA君が満点を とったとき、この日のテストが英語であった確立はいくらか。 僕の解き方 「この日のテストが英語であった確率はいくらか?」なので、 まず開かれたのが英語である確立を求める必要アリ。 ↓ 与えられた条件から2/5とわかる。 ↓ さらにこのテストで、満点をとったのだから、それは2/5 ×1/3となる。 ↓ 2/15が、その日英語のテストがだされて満点をとる確率。 ↓ 質問で問われている「満点をとったテストが英語である確率」 は2/15。 選択肢の2/15があったのでてっきりこれが正解だと思い 答え合わせをしてみたら、とんだどんでん返し。ここまでは 確かにテキストにも掲載されている解き方なのですが、まだ 続きがあったのです。 同様の方法で、国語・数学が満点をとる確率は1/15、 1/10。これらを比にして4:2:3→正解は4/9。 これまた正解が正解である証拠のない嫌な問題だと感じまし た。2/15は、英語のテストが出されて満点をとる確立で あり、それはイコール、満点をとったテストが英語であった 確率ではないのですか?普通に素直に考えれば、同じことな はずです。なぜなら、他の科目のテストが出たかもしれない、 もしくは英語がでても満点でない可能性もあった中、英語が でてさらに満点をとったのですから。 これは、何をヒントに、どこまでが式の終わりかを見極めれ ばよいのでしょうか。宜しくお願いします。
- みんなの回答 (9)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
お hypnosisさん またお会いしましたね! まず、 2/15 という答えを出したやり方のどこが間違っているかを、 端的に説明したいと思います。 2/5 は、「英語が出題される確率」ですね。 そして、2/5×1/3 は、「英語が出題されて、かつ、満点を取る確率」です。 果たして、 題意である「満点を取ったときに、そのテストが英語である確率」 と あなたが考えた「英語が出題されて、かつ、満点を取る確率」 とは同じなのでしょうか? こういう例は、いかがですか? ある1組の男女が出合う確率を50%、 男女が出会ったら結婚する確率を30%、 男と男が出会う確率を25% 男と男が出会ったときに結婚する確率を0%、 女と女が出会う確率を25% 女と女が出会ったときに結婚する確率を0%、 と置いてみます。 すると、 「結婚をしたとき、その組が男女である確率」は、何%でしょうか? 0.5×0.3 = 0.15 で15%でしょうか? 違いますよね。 男と男が出会ったときに結婚する確率は0%、 女と女が出会ったときに結婚する確率も0%、 なのですから、 「結婚をしたとき、その組が男女である確率」は、100%です。 同様に、 題意である「満点を取ったときに、そのテストが英語である確率」 と あなたが考えた「英語が出題されて、かつ、満点を取る確率」 とは同じではないのです。 「満点を取ったとき」という条件がついた「条件つき確率」なので、 全パターンではなく、満点を取るケースだけを分母にしなくてはいけません。 満点を取るケース(確率)は、 英語で満点 + 国語で満点 + 数学で満点 = 2/5×1/3 + 1/5×1/3 + 2/5×1/4 = 3/10 英語で満点を取るケース(確率)は、 英語の満点 = 2/5×1/3 = 2/15 よって、満点であったとき、それが英語の満点である確率は、 2/15 ÷ 3/10 = 4/9 となります。 こんな説明で、わかりますか?
その他の回答 (8)
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
へいっ まいどっ ^^ ---------------------------------------------------------- 1)満点を取るケース(確率)は、3/10 2)英語で満点を取るケース(確率)は、2/15 3)満点であったとき、それが英語の満点である確率は、4/9 しかし、ここで一点感じた不明点なのですが。手順(1)で、 それぞれの科目で満点をとるケースは求められているのに、 なぜ手順(2)でもう一度2/5×1/3を計算する必要が あるのですか。手順(1)でもうすでに満点をとったという 世界観が設定済みなのだから、いまさらわざわざ満点をとる 確率を計算する必要があるのかどうかという点で悩みました。 もう計算済みなのだから、2/5だけでよいという風に考え ることもできますよね。 ---------------------------------------------------------- ありゃ じゃー、試しに、2/5 だとしましょうか。 2/5 ÷ 3/10 = 4/3 100%を超えちゃいました。 求めるのは、 「満点を取ったときに、そのテストが英語である確率」 です。 つまり、満点以外のケースを全部無視した確率を求めるのです。 分子においても分母においても、満点以外のケースは除きます。 ですから、 分母は、 英語で満点 + 国語で満点 + 数学で満点 = 3/10 であり、 分子は、 英語で満点 = 2/15 です。 (英語で満点)/(英語で満点 + 国語で満点 + 数学で満点) = 4/9 >>>もう計算済みなのだから、2/5だけでよいという風に考えることもできますよね。 いえ。そう考えることはできません。 求めるのは、 (英語で満点)/(英語で満点 + 国語で満点 + 数学で満点) なのであって、 (英語が出題)/(英語で満点 + 国語で満点 + 数学で満点) = (英語で満点 + 英語で満点以外)/(英語で満点 + 国語で満点 + 数学で満点) ではないのですから。 では、この辺で。
お礼
>分子においても分母においても、満点以外のケースは除きます。 了解です。じっくり復習します。ご丁寧にありがとうございました。
- tsuyoshi2004
- ベストアンサー率25% (665/2600)
これまた根本的に問題を理解できていないですね。 この問題は読み替えれば、「A君が満点を取った試験のうちのどれだけが英語ですか?」という問題です。(逆に言えば、「科目を問わず満点を取れなかった試験は無視してください。」ということです。) これを質問者さんは、「全ての試験のうちで英語で満点を取ったとはどれだけですか?」という問題にすり替えてしまってます。 従って、分母は「満点を取った回数」、分子は「英語で満点を取った回数」になり、決して分母が「試験の回数」で分子が「英語で満点を取った回数」にはなりません。 もちろん、解答例のように、全試験のうちで各科目で満点を取る確率を求めて、そのうちの英語の比率を求めても結果は同じですが、私なら以下のように解きます。 各科目毎の満点の確率 英語の試験が3回あれば1回(1/3) 国語の試験が3回あれば1回(1/3) 数学の試験が4回あれば1回(1/4) で満点を取れます。 が、実際にはそれぞれの試験は2:1:2の比率で行われます。 とすれば、通分して 英語の試験が12回で4回 国語の試験が6回で2回 数学の試験が12回で3回 の満点を取ったことになります。 従って、合計9回の満点のうち英語の満点は4回なので、4/9となります。 もっと簡単な類題です。 「トランプの52枚のうち、赤のカード26枚と黒のエースの2枚の計28枚があります。もし、あなたが引いたカードがエースだとすればそのカードが黒である確率はどれだけですか?同様に赤である確率はどれだけですか?」 答えは、どちらも1/2です。 同様に「トランプの52枚のうち、赤のカード26枚と黒のエースの2枚の計28枚があります。もし、あなたが引いたカードがエースでないとすれば、カードが黒の確率はどれだけですか?同様に赤である確率はどれだけですか?」 答えは黒である確率は0で赤である確率は1です。
お礼
今回の問題の、「満点を取った試験のうちの…」という前提条 件あたりはなんとか大丈夫です。 トランプの問題も、「…だとすれば、…の確率はいくらか?」 というのがキーワードですよね。 ここいらへんはもう大丈夫みたいです。ありがとうございます。
- okky0707
- ベストアンサー率22% (34/154)
鯨が哺乳類である確率は100%だが、 哺乳類が鯨である確率は100%ですか? >英語がでてさらに満点をとったのですから。 問題文のどこにも英語が出たとは書かれていません。 そもそも、英語が出て満点をとったなら、この日のテストが英語であった確率は 100%であるはずで、あなたの出した2/15という答えを自ら否定していますよ。 相変わらず、読解力が足りないというか、早合点な人ですね。
お礼
ありがとうございます。 えぇーっと、よくわかりませんが。いつも思うのは、問題で 問われていることをどう式にしたらいいかがわからない、で す。なぜなら、どれが正解でどれが不正解かの見極めがつか ないからです。
- yamsaru
- ベストアンサー率40% (6/15)
詳細は他の方々に譲るとして、以前も申し上げたことを言わせていただきます。 「hypnosisさんの仰る『当然』は、まったく『当然』ではありません」 >英語のテストが出されて満点をとる確立であり、それはイコール、 >満点をとったテストが英語であった確率ではないのですか? >普通に素直に考えれば、同じことなはずです。 hypnosisさんは、気分に従って判断することを『素直』だと思っていませんか? 上記の思い込みも、素人にはありがちですが なぜ枝分かれを描いたりして、その目で確認しないのですか? 例えば勝手に問題をいじらせてもらいますが、これならどうでしょう? 「数学と英語が半々の確率で出題される。 A君は英語が大得意で、英語が出題されれば絶対に満点をとる」 どうですか?ここでhypnosisさんの言い分だと、 「A君は英語なら100%絶対に、満点をとれる」 →「A君が『満点をとれた』と言うなら、それは100%絶対に英語のテストだった!」 となってしまいますよ? ひょっとしたら数学のテストで、たまたま満点だった可能性は無視ですか? いろんな人が仰っていますが、なぜ証拠を調べもせずに信じ込むのでしょうか? どうにもhypnosisさんの台詞からは 「自分は『素直』なのに!自分は悪くないのに!」というオーラを感じます。 もし「自分が当然だと思うことは当然なんだ! いちいち調べる必要なんかあるもんか! 自分で例を挙げて分析したりもしないぞ! この態度を永遠に変えるもんか!」というなら、状況は絶望的です。 毎回「素直に考えると」「当然こうなるはず」とおっしゃいますが、 いつも証拠を調べようともせずに、そう判断する理由を訊いてもかまいませんか? そろそろ、「自分が思う『当然』は、当然じゃないのかもしれない」とは思いませんか? お気に触られたかもしれませんが、純粋に疑問なので、良ければお答えください。
お礼
yamsaruさんは、日々の仕事の経験の中から、その疑問の答えは、 見出せなかったのでしょうか。ヒントも答えもゴロゴロ転がって いるはずですので、まずはそれを見つけてきてください。
- Kules
- ベストアンサー率47% (292/619)
僕の解き方 「この日のテストが英語であった確率はいくらか?」なので、 まず開かれたのが英語である確立を求める必要アリ。 ↓ 与えられた条件から2/5とわかる。 ↓ さらにこのテストで、満点をとったのだから、それは2/5 ×1/3となる。 ↓ 2/15が、その日英語のテストがだされて満点をとる確率。 というのは「英語のテストが出たこと前提での、満点を取る確率」です。 問題文の 満点をとったとき、この日のテストが英語であった確率はいくらか。 というのは「満点を取ったこと前提での、英語のテストである確率」です。 これは確か「条件付き確率」というもので、ちゃんとやろうと思うと、表を書いた方がわかりやすいと思います。 今回でいうと、縦3マス×横4マスの表を書いて、そのなかに左上から順番に (一行目左から)英語で満点をとった確率 ((1)とします) 国語で満点をとった確率 ((2)とします) 数学で満点をとった確率 ((3)とします) (1)(2)(3)の合計 ((4)とします) (二行目左から)英語で満点をとらなかった確率((5)とします) 国語で満点をとらなかった確率((6)とします) 数学で満点をとらなかった確率((7)とします) (5)(6)(7)の合計 ((8)とします) (三行目左から)(1)(5)の合計 ((9)とします) (2)(6)の合計 ((10)とします) (3)(7)の合計 ((11)とします) (9)(10)(11)の合計 ((12)とします) このようにすると、今回の問題で聞かれているのは(1)/(4)ということであり、質問者様の出した答えは(1)/(全体(つまり1))ということです。つまり分母が変わってくるということですね。 長文失礼しました。参考になれば幸いです。
お礼
”問題文の満点をとったとき、この日のテストが英語であった確率はいくらか。というのは「満点を取ったこと前提での、英語のテストである確率」です。” やはり今回の学習のポイントはここですね。ありがとうございました。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
> 英語のテストが出されて満点をとる確立であり、 > それはイコール、満点をとったテストが英語であった > 確率ではないのですか? > 普通に素直に考えれば、同じことなはずです。 また、そんな1ミリ秒も考えてない結論を…。 言葉が似ていることと、意味が同じであることは、 全く違うことです。 以前に自分で書いていた通り、国語は苦手でない のであれば、そのくらいは理解できないとね。 テストの科目と、満点だったか否かを 分類してみましょう。 [1] 英語のテストが出されて満点をとる [2] 英語のテストが出されて満点をとらない [3] 国語のテストが出されて満点をとる [4] 国語のテストが出されて満点をとらない [5] 数学のテストが出されて満点をとる [6] 数学のテストが出されて満点をとらない 英語のテストが出されて満点をとる確率は、 [1] が起こる場合の数 / ([1]~[6] が起こる場合の数の合計)。 満点をとったテストが英語であった確率は、 [1] が起こる場合の数 / ([1] [3] [5] が起こる場合の数の合計)。 [2] [4] [6] が起こる可能性がある以上、このふたつが一致する 訳がありません。
お礼
arrysthmiaさん、こんにちわっ。 満点をとったテストが英語であった確率は、 [1] が起こる場合の数 / ([1] [3] [5] が起こる場合の数の合計)。 …てことは、やはり問題文の「満点をとった→その科目が○○で ある確率は」という流れから判断してこの式を使え、ということ なわけですよね。大丈夫そうです。ありがとうございました。
- dxdydzdw
- ベストアンサー率43% (85/197)
これは、事後確率という種類の問題です。 まず、質問者様のおっしゃるとおり、 「英語であり、満点である」確率は 2/15 「数学であり、満点である」確率は 1/15 「国語であり、満点である」確率は 1/10 ところで、現在わかっているのは「満点である」ことだけ。 この三教科しか出題されないのだから、この3つの可能性しかない。 つまり、この中で英語である確率は、 全体が 2/15 + 1/15 + 1/10 = 9/30 = 3/10 で、英語の場合は 2/15 ですから、 (2/15)/(3/10)=4/9 です。 正解です。 質問者様の疑問は、 >他の科目のテストが出たかもしれない、 もしくは英語がでても満点でない可能性もあった中、 などという余計なことを考えているからです。そんな可能性はすでに排除されています。「満点であった」と問題に書いてあるではありませんか。満点でない可能性はその時点で既に「ない」のです。
お礼
>そんな可能性はすでに排除されています。「満点であった」と問題>に書いてあるではありませんか。満点でない可能性はその時点で既>に「ない」のです。 おぉ(゜◇゜;)。事後確率、とありますが、問題文で「満点をとった→その科目が○○である確率」という流れから判断すればよいのでしょうか。前半の部分で「可能性はすでに排除されている」という結論を判断するところは理解できました。 ありがとうございました。
簡単に言うと、質問者が出した答えは、 ×「満点をとったテストが英語である確率」 ○「英語のテストがあったときに満点を取る確率」 ということでしょう? 自分で出した回答には最初に、「英語が試験に出される確率」と書いていますよね。 なので、同様に 「国語のテストがあったときに満点を取る確率」 と 「数学のテストがあったときに満点を取る確率」 も計算しそれを比率で分けているのです。 結局、公式を理解するのではなく、なぜその公式が導かれたのかを理解していないのでどうやって解いていいか判らない、ということでしょう?
お礼
つまり、こういう問い方の問題はこう解けばいいということが、 今回学ぶべきポイントですね。ありがとうございました。
お礼
sanoriさん、こんにちわっ。いつもありがとうございます。 >「満点を取ったとき」という条件がついた「条件つき確率」なの?>で、全パターンではなく、満点を取るケースだけを分母にしなくて>はいけません。 おぉ(゜◇゜;)。 1)満点を取るケース(確率)は、3/10 2)英語で満点を取るケース(確率)は、2/15 3)満点であったとき、それが英語の満点である確率は、4/9 テキストではそれぞれの科目が満点をとる確率を比にしていま したが、このやり方のほうがスマートで僕向きのようです。 しかし、ここで一点感じた不明点なのですが。手順(1)で、 それぞれの科目で満点をとるケースは求められているのに、 なぜ手順(2)でもう一度2/5×1/3を計算する必要が あるのですか。手順(1)でもうすでに満点をとったという 世界観が設定済みなのだから、いまさらわざわざ満点をとる 確率を計算する必要があるのかどうかという点で悩みました。 もう計算済みなのだから、2/5だけでよいという風に考え ることもできますよね。 今回のタイトルは「式の途中と終わり」ですが、ここで終わ り、いやまだ計算する、という見極めは難しいです。