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Cantorの対角線論法って変ではないですか?
実数全体の集合Rは可算ではない。 の証明なのですが 「I=(0,1)の全ての数を{a_1,a_2,…}のように番号づけれたと仮定する。 尚,0.237は0.236999…と展開する事にする。 a_1=0.a_11a_12a_13… a_2=0.a_21a_22a_23… a_3=0.a_31a_32a_33… ： ここでa_ijはi番目の実数a_iの少数j位の数字(0,1,…,9)である。 そしてb=0.b_1b_2b_3…b_n…を b_1= 1 (a_11が偶数の時) 2 (a_11が奇数の時) b_2= 1 (a_22が偶数の時) 2 (a_22が奇数の時) この時,このbはどのa_1,a_2,…とも一致しない」 という証明法ですがここで疑問があります。 a_1=0.a_11a_12a_13… はa_11,a_12,a_13,…夫々が0から9までの数字なので a_1は10^∞通りの数を表している事になりますよね。この時点で既に番号付け出来ていないと思います。 番号づけ出来ていないのに番号付けできたと仮定して そしてどのa_1,a_2,a_3,…とも一致しないb=0.b_1b_2b_3…b_n…が採れる。 だから番号付けできないとは何とも奇妙に思うのですが。 どうしてa_1ですら10^∞通りの数を表していて番号付け出来ていないのに番号づけできたと言えるのでしょうか?
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>a_1は10^∞通りの数を表している事になりますよね。 なりません．勘違いしています． あくまでも （1）並べられたと仮定する （2）その一番目のものをa1と書く （3）そのa1を小数で表す というだけです． 「10個のものがあり，それを適当にならべて， その順番でa1，a2,...,a10とかく このとき，a1は10個のものを表しているから そもそも並べてないし，全部で100個になるからおかしい」 といってるのと似ているような気がする．
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- koko_u_
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>a_1は10^∞通りの数を表している事になりますよね。 いいえ。a_1 は最初に仮定した番号付けされた実数の最初の数です。 番号付けの方法が何通りあるかは問題ではありません。 ひとつ単射 f : N -> R ( n -> a_n ) を考えると、その像 f(N) には含まれない実数 b が存在するので、f は全射ではないという論法ですね。
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どうもありがとうございました。
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ありがとうございます。分かってきました。 網羅できたと仮定すると 「a_1=0.a_11a_12a_13… a_2=0.a_21a_22a_23… a_3=0.a_31a_32a_33… ： ここでa_ijはi番目の実数a_iの少数j位の数字(0,1,…,9)である」 という状況になっている筈ですね。確かに。 網羅したにも拘らずb=0.b_1b_2b_3…なる数が採れてしまうから矛盾になるのですね。 繰返しですが網羅できたと仮定すると ∀r∈R,∃i∈N;r(=a_i)=a_i1a_i2a_i3… となるはずだがrとしてbなるものを採ると ∀i∈N,∃j∈N;b_j≠a_ij なのでこの場合のrについては,i∈N;r(=a_i)=a_i1a_i2a_i3…なるiが存在しないので網羅できてた事に矛盾なのですね。