原則、違法です。ただし、例外もあります。
簡単に言うと、商標権の侵害というのは
他人の登録商標を無断で「使用」する行為のこと。
そして、この「使用」という概念には
輸出も含まれます（商標法２条３項２号）。
したがって、「外国に売ること」は
日本の商標権を侵害する行為にあたることになります。
この場合、「商標権のない外国」であることは関係ありません。
また、上で述べたように「登録商標」を無断使用することが
違法になるのであり、誰が作った商品かはあまり問題になりません。
「商標権を持たない会社」がその商品を独自に製造しているとしても、登録商標を使用している事実に変わりはないからです。
シャネルの偽造品販売が商標法違反になっているニュースはご存知ですよね。あれと同じです。
しかし、ご質問の内容では
双方の使用されている商品がどういうものかわからないので
なんとも判断できません。
なぜなら、商標登録においては「どういう商品に商標を使用するのか」をあらかじめ指定するのですが
（→「指定商品」（商標法５条１項３号））、
商標権の侵害が成立するのは、
その指定商品と相手の使用する商品とが同一又は類似する場合だからです。
同一商品ならともかく、類似か否かは簡単に判断できない場合もあります。
また、ここまで述べた侵害の条件があてはまるとしても
状況によっては侵害にならないケース、
さらには、ここまで述べた侵害の条件があてはまらないとしても
状況によっては侵害になるケースもあります。
詳細が不明である以上
これ以上の説明はできかねます。
一応、法律上の知識を簡単にお伝えしただけなので
私の回答のみを根拠に相手方へアクションを起こすのは
やめてくださいね。責任持てないので。
お早めに特許事務所にご相談することをお勧めします。
お礼
ご丁寧にお答えいただきましてありがとうございます。早速相談し対応を考えたいと思います。ちなみに該当分類・商品は一緒です。