偏差平方和の式

質問

初歩的な質問で恐縮です。相関分析の参考書に
Sx＝Σ(xi-xbar)^2=Σxi^2-(Σxi)^2／n
とあります。
この式の証明方法を教えていただけないでしょうか？
この分野はあまり得意でなく困っております。
言葉を添え丁寧に教えていただくと助かります。
勝手申しますが、よろしくお願いします。

回答No.1

himajin100000 · ベストアンサー

個人的な書きやすさのため
xbarをaverage(x)って書き

xiをx(i)と書くことにする。

なお
Σ(x(i))^2は (x(1) + x(2) + x(3))^2を
Σ(x(i)^2)は (x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2)を
それぞれ意味するものとする。
　平均って,定義から明らかに
average(x) = Σ(x(i))/n ・・・A
だよな。

Σ(x(i) - average(x))^2
=(x(1) - average(x))^2
+(x(2) - average(x))^2
+(x(3) - average(x))^2
+…
+(x(n) - average(x))^2

=(x(1))^2 - 2 * x(1) * average(x) + (average(x))^2
+(x(2))^2 - 2 * x(2) * average(x) + (average(x))^2
+(x(3))^2 - 2 * x(3) * average(x) + (average(x))^2
+…
+(x(n))^2 - 2 * x(n) * average(x) + (average(x))^2

= Σ(x(i)^2) - 2 * average(x) * Σ(x(i)) + n * (average(x))^2

ここでAをaverage(x)に代入すると

Σ(x(i)^2) - 2 * average(x) * Σ(x(i)) + n * (average(x))^2
= Σ(x(i)^2) - 2 * Σ(x(i)) / n * Σ(x(i)) + n * (Σ(x(i)) /n )^2
= Σ(x(i)^2) - 2 * Σ(x(i)) ^ 2 /n + Σ(x(i))^2 / n
= Σ(x(i)^2) - Σ(x(i))^2 / n

回答No.4

Ishiwara

他の方と同じことをやっているわけですが、このような式の計算は、なるべく記号を簡単にするほうが見やすくなります。例えば、ｘｉを単にｘとし、ｘbarをＡとします。

Σ((ｘ－Ａ)^2)
-----２乗を展開
＝Σ(ｘ^2)－２ＡΣｘ＋Σ(Ａ^2)
-----Ａを(Σｘ)/ｎと置き換える
＝Σ(ｘ^2)－２((Σx)/n)Σｘ＋Σ(((Σｘ)/ｎ)^2)
-----第３項は定数のΣだからｎ倍としても同じ
＝Σ(ｘ^2)－２(((Σx)^2)/n)＋ｎ((Σｘ)^2)/(ｎ^2)
-----第２項は第３項の－２倍と判明した
＝Σ(ｘ^2)－((Σｘ)^2)/ｎ

お礼

皆様懇切丁寧なご指導ありがとうございました。
おかげさまで理解できました。
お二人しか評価できないのが残念です。

回答No.3

kumipapa

xbar = Σxj / n なんだけど、xbar はそういう計算結果であって、与式の中では定数なんだな。
だから単純に、
Σ(xi - xbar)^2
= Σ(xi^2 - 2 xbar・xi - (xbar)^2)
= Σxi^2 - 2 xbar Σxi + n (xbar)^2
= Σxi^2 - 2 n (xbar)^2 + n (xbar)^2　　（∵ Σxi = n xbar)
= Σxi^2 - n (xbar)^2
= Σxi^2 - (Σxi)^2 / n　　（∵ xbar = (Σxi) / n )

回答No.2

himajin100000

自分で書き方変えといて書き間違えてる
Σ(x(i) - average(x))^2
=(x(1) - average(x))^2
ではなく

Σ((x(i) - average(x))^2)
の誤り