曲げ試験（JIS1106）について教えてください！

質問

三等分点載荷曲げ試験（JIS1106）を行う際に，σ＝LP/bh＾2（σ：応力，L：支間，b：供試体幅，h：供試体高さ）になるのは分かったのですがE＝23PL＾3/108bh＾3Δ（E:弾性係数，Δ：たわみ）を導くことができません。ちなみに1～2、2～3、3～4の長さはそれぞれdで、L＝3dとなります。
どなたか教えて頂けませんか？
よろしくお願いします。

　　　　　　　　　荷重
　　　　　　　２　　　　　３
　　　　　　　↓←d→ ↓
ーーーーーーーーーーーーーーーー
　　　　　　　　供試体
ーーーーーーーーーーーーーーーー
　　　↑← 　 支間　 　 →↑
　　　１　　　　　　　　　　　　４　
　　　支点　　　　　　　 　　　支点

回答No.1

h191224

一般に、材料力学の参考書に載っているたわみの基準点（＝ゼロ点）と、このような測定の際の常識的基準点は、違っています。これが混乱を招いているのだと思います。

測定の際の基準点は、通常は１と４です。これらを固定支持点とし、２と３に荷重を負荷して行った時の、中央に生じる最大たわみがΔです。

一方の材料力学の参考書、そのなかでも代表的な機械工学便覧では、基準点が２と３です。これらを支持点として、１と４に荷重を負荷して行った時の、両端のたわみをｖ1、中央に生じるたわみをｖ2としています。ｖ1とｖ2は、逆向きになります。

要するに、
Δ＝ｖ1＋ｖ2　　　・・・（１）
です。

機械工学便覧によると、荷重Pの1/2の値をW、１と２（３と４）の長さをL1、２と３の長さをL2として、ｖ1とｖ2は次式のように表示されています。
ｖ1＝W・L1^3(3L2 / L1 + 2) / 6EI　　　・・・（２）
ｖ2＝W・L1・L2^2 / 8EI　　　・・・（３）

ここで、今の問題の条件、
L1＝L2＝d＝L / 3　　　・・・（４）
W＝P / 2　　　・・・（５）
を入れて変形し、Δを計算すると、ておきます。
ｖ1＝5・P・d^3 / 12EI　　　・・・（６）
ｖ2＝　P・d^3 / 16EI　　　・・・（７）
Δ＝ｖ1＋ｖ2
　＝ 23・P・d^3 / 48EI
　＝ 23・P・L^3 / 1296EI　　　・・・（８）

最後の締めくくりとして、ご自分で、
I = bh^3 / 12　　　・・・（９）
を代入して、Eを求めてみましょう。

お礼

非常に丁寧なご説明ありがとうございます。
まずはv1、v2の証明からやってみたいと思います。
本当に助かります。
ありがとうございました。