大学生 逆関数の定義域

質問

・ｙ＝ae^bx/1+e^bx　　

・abは０ではない
　という条件でｙの逆関数の定義域はどうやって求めるのですか？

誰か教えてください。お願いします。

回答No.2

arrysthmia

逆関数にせよ何にせよ、関数の定義域は、本来
求めるものではなく、任意に定義するものです。
…という杓子定規は、さて置き。
関数が単射であれば、その値域(定義域の像)を
逆関数の定義域と考えてよいとは思います。

その際、もとの関数の定義域が必要です。
y = (a e^bx) / (1 + e^bx) について、
x の変域が全実数ならば、y の変域は 0<y<a または a<y<0。
x の変域が上式に代入し得る全ての複素数ならば、
y の変域は 0 と a を除く全ての複素数となります。

回答No.1

hismix

細かい議論は除いて大筋を回答させていただきます。

逆関数の定義域ということなので、yの値域を考えることになります。
（a,bともに非負であり、e^bxは常に正なので、aが正か負かで
　yが正か負になります。まずa>0を考えます）
分母分子をe^bxでわると
y=a・(1/(1/e^bx)+1)
x∈(-∞,∞)のとき、e^bx∈(0,∞)なので
z=e^bxとおくと、y=a・1/(z+1), z∈(0,∞)とあらわせます
グラフをかくとわかりやすいですが、
y∈(0,a)となります。

上下対称なので、a<0のときはy∈(a,0)です。