電流がある値になったことを検知する方法は無数にあります。（ちょっと
大げさですが、たくさんあります）
数ある方法の中から使えない方法を削っていくと可能性のある候補が
いくつか残ります。その中から、他の条件（サイズ、値段、動作速度
消費電力、精度、耐ノイズ性、特許、etc. tec.）を含めて最適と思われる
方法を採ることになります。
このように絞っていく過程で大きなポイントになるのが、その回路や
センサー等に電源が確保されるのか、ということです。例えば、電源
スイッチを切った時の電流減衰なのであれば、もともと電源がほとんど
ない状態で検出しなくてはならないことになります。
基本的には小さい抵抗にその電流を流して、その抵抗の両端の電位差を
アンプするのが常套手段です。他に、カレントトランス（CT)を使ったり
直流トランスなどというセンセーショナルなものもあります。電流を
ホール素子で検出したり、コイルでピックアップすることも可能です。
電流値によってはLEDを検出素子として使って光に変えて検出したり、
大電流ならロゴスキーコイルなんていうものもあります。
1mA程度の直流ならやはり10Ω程度の抵抗に流し（10Ωが許されるとして）
差動アンプで100倍程度するのがお勧めです。ただし、このアンプ用の
電源は確保しなくてはなりません。
アンプされた後はコンパレータにいれればOKです。
こんなことは考えてみましたか？
回路がうまく出来て、何かが1mA以下になったため、予定通りある回路が
切れました。それは消費電流が急に少なくなったことになるので
さきほどの1mAが少し復活して、この回路が電源をONに戻してしまいました。
するとその分消費が増えて、また1mA以下に落ち・・・・本当に切れるまで
バタバタしてしまいますね。
補足
丁寧な回答ありがとうございます。 電流値の検知方法は大体わかった気がします。 アンプされた後コンパレータに入ればOKということですが、もう片方の入力には比較電圧をいれればよいのでしょうか？ またコンパレータで比較された後、その結果を用いて具体的にどのように電源を落とせばよいのかなど、具体的な流れを教えていただけると非常に助かります。 電圧値の差をとる→増幅する→コンパレータで比較電圧と比較→？ 非常にお恥ずかしいのですが、回路の勉強は多少しましたが、実用的な知識・技術が不足しているので初心者同然です。 よろしくお願いします。