４人が配パイで国士無双１３面待ちになる確率は？

質問

「４人打ち麻雀で、配パイの時点で４人とも国士無双１３面待ちのテンパイになる確率はいくらになるのか？（←絶対に誰も上がれない）」
友人と話をしていてでてきた話題ですが、途中まで計算していたものの頭の中が混乱してきて答えが出せないでいます。
とりあえず、そーず・まんず・ぴんず・東南西北・白發中の136枚の場合ですが、どのように計算すれば良いのでしょうか？

冷静に考えれば分かる程度の問題なのですが、考えがあっちこっちに行っちゃって・・・

下らない質問で申し訳有りませんm(__)m

回答No.6

ninnnniku · ベストアンサー

あり得ないということはないんじゃないですか？

確かに親は配牌＋第１自摸で１４枚取ることになりますが、このとき国士１３面待ち＋関係ない牌１コという構成になれば、質問の条件は満たせるのではないでしょうか。最後の１枚は何でもいいんですから、求めている確率には影響しませんよね？
・・・でも親の１３枚目までで一向聴になって、第１自摸でテンパイする可能性を考えると、確率計算に影響が出ますね。ちょっとややこしくなるかな？

あ、あと、親の振る賽の目や、どの山のどの位置から配牌を始めるのかということまで考えると非常に厄介になりますね。ここまで考えるとなるともうめまいがしそうです。

求め方ですが・・・とりあえず、賽の目関係の問題は無視、親は「配牌で聴牌」という条件に限定して考えます。

まず、１３６ある全ての牌から特定の牌５２牌が配牌に使われる確率から絞りませんか？　山のある特定のところに一九字牌が５２個全て固まる確率を算出すれば、あとの計算が楽になると思います。

あとは配牌の頭から 4n+1枚目,4n+2枚目,4n+3枚目,4n+4枚目 (nは0から12まで) の４つのグループに分けて、グループ内で重複した牌がないという状態になればよいわけです。これは結局のところ、５２枚の中から１３枚を重複のないように取り、さらに残った３９枚の中から１３枚取り、最後に２６枚を１３枚ずつに分ける、ということと計算上は変わらない・・・ですよね？　（ここだけ自信なしでお願いします）

といったかんじでいかがでしょうか。
あれやこれやと考えるのは大好きなのですが実際計算するのは嫌いなのでご自身でお確かめになってください。５２枚に絞ることができればあとはひたすら計算もなんとかできるのではと思われます。がんばってください。

お礼

回答ありがとう御座います。

>最後の１枚は何でもいいんですから、求めている確率には影響しませんよね？

はい、多分影響しないとは思うのですが、そのへんがまだ、整理できません・・・(^^ゞ

>あ、あと、親の振る賽の目や、どの山のどの位置から配牌を始めるのかということまで考えると非常に厄介になりますね。ここまで考えるとなるともうめまいがしそうです。

これが確率に影響するのなら、かなり考え方がややこしくなりそうですね～。もう、「好きにして」って言いたくなります（苦笑）
とりあえず、無視でいきます

>まず、１３６ある全ての牌から特定の牌５２牌が配牌に使われる確率から絞りませんか？　山のある特定のところに一九字牌が５２個全て固まる確率を算出すれば、あとの計算が楽になると思います。

特定の山に、一九時牌がどれでもいいからある確率は

52/136 * 51/135 * 50/134 ・・・・・　2/86 * 1/85
=52!/136P52　・・・・（Ａ）　【nPr = n × (n-1) × (n-2) ×・・・× ( n - (r -1) )】
=7.3057509834292112232863796526416e-39

で良いですよね？

>あとは配牌の頭から 4n+1枚目,4n+2枚目,4n+3枚目,4n+4枚目 (nは0から12まで) の４つのグループに分けて、グループ内で重複した牌がないという状態になればよいわけです。これは結局のところ、５２枚の中から１３枚を重複のないように取り、さらに残った３９枚の中から１３枚取り、最後に２６枚を１３枚ずつに分ける、ということと計算上は変わらない・・・ですよね？　（ここだけ自信なしでお願いします）

はい、多分、計算的には同じだと思います。多分、このような計算式で算出できるかと思います。
4^13/52P13 * 3^13/39P13 * 2^13/23P13 * 1^13/13P13
=24^13/52!　・・・（Ｂ）

Ａ*Ｂ
=52!/136P52 * 24^13/52! = 24^13 * 84! /136!
=7.9389417466194695415159635176543e-89

　といった計算で、よろしいですよね？

＃この場を借りて、＃７の方へ・・
回答内容を理解するのに少々時間がかかっていますので、もうしばらく時間を下さい。

回答No.8

Barenino

回答No.＃４です。２度目。
回答No.＃５の方の指摘を受け訂正します。（ただし以下全て自信無し、考慮中です）

配パイの時点で、４人とも国士無双の１３面待ちのテンパイになる確率は『有り得る』に訂正します。
（いい加減だ！と自認してます。スイマセン）

「配牌時の最後、壁牌から親の“２枚（上段１枚目と３枚目）”で、各自の手牌時でのテンパイの確率」という事でよろしいですか？
（これも自信無い）

・そして確率計算なら「ドラ表示牌」の条件も付くハズ。
（嶺上牌＝リンシャンパイも無関係な牌という事）
「－１牌の条件付き」では？
※「ドラ表示は、調べた限り“無視は無い”でしょう？」

※ここでは「無関係な牌」とは『中張牌（チュンチャンパイ＝2～８の数牌）』に限られる。
（こんな簡単な事にもだんだん自信無くなって来たぞ！）

残った疑問は「親の手牌の１３面待ち状態」が、
・「親の最後の配牌となる、２枚の牌（上記の最後の壁牌からの２枚牌）で、テンパイとなるケース（＝最後の２枚牌≠中張牌）が含まれているのか？」という事。

この辺で一服します。（時間を下さい！締め切り催促は無視して）

今ん処は、「フリテン」ルールで（これは多少ローカルルールで違い・有無の差も）
・『全員上がれず流局』で果たして正解か？もスゴク疑問。
（流局は別問題だが、裏ドラが絡むぞ）
さーて今回２度目の回答の疑問と記述はどうか？
ただ、『今回の復習で、ある程度普通のゲーム中でも“有り得るケース”となる』と思う（サイコロ、親決め等を普通に打っていても）

手元に「マージャンゲーム」ソフトが無いので実験？出来ず、実際に雀荘で面子揃えて打つ時間も無理。

どうもひっかかるのが『マージャンプレイ史上１回もおきてないのか？』
過去の試行回数は、想像着かないが「ウン百万回以上」（裏づけ無し）でしょう？

手っ取り早くは「マージャンソフトで、（配牌設定可能に限る）試してみる事か？」

週末にはやってみます。
（ドラ牌を条件に付加えて、単純に重複組み合わせで出来ないかな？親も配牌順も条件には無関係でしょう？壁牌が「ブラックボックス」状態の袋と見ると。）
違うかなぁー！

では～！！！

お礼

>回答No.＃４です。２度目。
>回答No.＃５の方の指摘を受け訂正します。
なんどもすみませんm(__)m
えーと、ただ、＃４→＃５　＃５→＃６　ですよね？

>「配牌時の最後、壁牌から親の“２枚（上段１枚目と３枚目）”で、各自の手牌
>時でのテンパイの確率」という事でよろしいですか？
はい、厳密な麻雀のルールでどうなっているのかは知りませんが、一般的には親の最後の２枚までが配牌と捉えられていると思いますので、この質問でも親の１４枚目までを配牌として考えています。

>・そして確率計算なら「ドラ表示牌」の条件も付くハズ。
>（嶺上牌＝リンシャンパイも無関係な牌という事）
>「－１牌の条件付き」では？
>※「ドラ表示は、調べた限り“無視は無い”でしょう？」
「ドラ表示牌として、ひっくりかえす牌」を確率計算から除くといった考えでしょうか？
えーと、ドラ表示牌の存在は配牌に影響しないので、この確率には関係しないと思いますが・・

>残った疑問は「親の手牌の１３面待ち状態」が、
>・「親の最後の配牌となる、２枚の牌（上記の最後の壁牌からの２枚牌）で、テ
>ンパイとなるケース（＝最後の２枚牌≠中張牌）が含まれているのか？」という事。
そのケースも含まれています。

>（時間を下さい！締め切り催促は無視して）
分かりました(^○^)
完全に理解できてすっきりしたら締め切るつもりですが、とりあえず２週間の締め切り催促までは、締め切らないようにします。今はまだ、頭の中が整理できてないので、締め切ろうにも締め切れません(^。^;)

順列とか組み合わせとかの考え方の、リハビリ兼ねてこの問題を考えているので（時間があるときしかできませんが）、数学系サイトとにらめっこしながら楽しみつつ考えています。

>今ん処は、「フリテン」ルールで（これは多少ローカルルールで違い・有無の差も）
>・『全員上がれず流局』で果たして正解か？もスゴク疑問。
うーん、誰か一人が国士無双を諦めて、一九字牌を捨てない限りは流局しかあり得ないと思いますが・・・
諦めた人は、トリプルロン！で沈みますが（笑）

>手元に「マージャンゲーム」ソフトが無いので実験？出来ず、実際に雀荘で面子
>揃えて打つ時間も無理。
実験するのですか・・・（；゜〇゜)
た、大変ですよ、これ。

>どうもひっかかるのが『マージャンプレイ史上１回もおきてないのか？』
起きている可能性もありますが、多分、無いでしょうね～。

補足

３週間以上たってしまいましたので、そろそろ締め切らせて頂きます。みなさま、回答ありがとう御座いましたm(__)m

回答No.7

kony0

いろいろな回答が出ていますが、この問題のポイントは
・136個の「異なる種類の」牌があるのではなく、34種類の牌が4個ずつある→同じものを含む順列を考慮すべき
・親の14牌のうち、どれか１つは２～８の牌であり、「それははじめの14牌のうちのどこにあってもよい」→14個目に限定してはだめ
というところでしょうか？
数字が出てもなんか自身が持てない・・・かなり難しいですね^^;

（私の回答）
はじめに配られる13×4+1=53牌のうち、
特定の52枚以外に1枚あって（それは親の元に行く）その牌の選び方は21種類。
その牌のいる場所は下記の東のどこかにあって14通り。
「東東東東南南南南西西西西北北北北東東東東南南南南西西西西北北北北東東東東南南南南西西西西北北北北東南西北東」
残る13個ずつの“東西南北”の中に13種類がそれぞれ散らばる入り方は(13!)^4とおり（ここまでで配牌53牌の並び方を特定）

さて、はじめの53牌以外の83牌分の入り方は、同じものを含む順列を考えて83!/{3!*(4!)^20}通り

そして、全部の牌の入り方は同じものを含む順列を考えて136!/(4!)^34通り

したがって、求める確率は
{21*14*(13!)^4*83!*(4!)^34}/{3!*(4!)^20*136!}=1.67*10^(-48)
となりました。

どれくらいすごい数字なんでしょうか？
人類50億人が12.5億卓を作り、1分間に1回ずつ配牌するとして、
1年間に12.5*10^8*60*365=2.74*10^13回tryできます。。。10^34年くらい必要そうですね。無理ぃ～(汗）

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありませんm(__)m

　すっかり日常生活に埋没していました・・・
　ときどきは思い出したように、考えていたのですが・・・・結局、回答の意味は十分には把握できませんでした。

　頭の中が 7.9389417466194695415159635176543e-89 を出すルーチンで一杯だったことも影響しているように思います。

　ともあれ、回答ありがとう御座いました。

＃１２．５億卓の例えは、面白かったです。

回答No.5

Barenino

回答No.＃４の方が正解でしょう！

ローカルルールや「仲間内」のルールでも、『親』をどう位置ずけるか？

麻雀は「やりつくされたゲーム」なので「ありえない」と思う。
（全自動マージャン卓でも）

Ｐ．Ｓ．アメリカとか欧米のルールでも「親無し」は知りません！（欧米ルールとはＡＬＬ　ＧＲＥＥＮ等の意味）

「あがれない」前に「ゲームが始まらない」
「風」や「親」の定義をし直さないと。

後、確率対象ならマージャン発明以来、一回でも起きて「逸話」として紹介されてるのでは？
（或は、未だに人類未体験の配パイ？）

でも面白いＱだ！こういうの好きです。

では～！！！

お礼

回答ありがとう御座いますm(__)m

>でも面白いＱだ！こういうの好きです。
そういっていただけると嬉しいです。なんか、「自分で計算しろ」って言われないかとちょっとビビってたので。

ただ、申し訳ありませんが、回答の意味が読みとれませんでした(^_^;)
多分、質問の意図が十分伝わってなかったことによる誤解があるのだと思います。質問の段階で十分な説明をしていなくて申し訳有りませんでした。

>後、確率対象ならマージャン発明以来、一回でも起きて「逸話」として紹介されてるのでは？
>（或は、未だに人類未体験の配パイ？）

いずれにしても、もの凄く低い確率になりそうですので、おそらくは人類未体験の配牌だと思います。

回答No.4

royoshi

配パイの時、親は13パイめと14パイを一緒にツモるので、これはあり得ないのでは無いですか?

お礼

回答ありがとう御座います。
質問で想定している状況があり得ないといった意味でしょうか？

４人が配パイで持っているハイは「まんずの1・9」「そーずの1・9」「ぴんずの1・9」「東南西北白撥中」で親だけは、まんす・そーず・ぴんずの何かの2～8を１つ持っている状態です。
非常に低い確立ながら、０ではないと思い質問させていただいてます。

回答No.3

hinebot

ちょっと自信ないですが。
一万、九万、一ピン、九ピン、一そう、九そう、東南西北、白發中の状態ですよね。
それぞれ、牌は４枚づつあるから　１人目（親）がこの待ちを引く確率は
(4/136)×(4/135)×…×(4/124) ={(4^13)×123!}/136!

!は階乗の記号。
n! = ｎ×(n-1)×…×2×1 です。

さらに１４枚目が上がり牌だといけないので、
{(4^13)×123!}/136!)×(136-13×4)/(136-13) = {(4^13)×123!}/136!)× (84/123)

同様に２～４人目までを考えると求める確率は
[{(4^13)×123!}/136!]× (84/123)　×　[{(3^13)×110!}/123!]×[{(2^13)×98!}/111!]×(86!/99!)

となるでしょうか。

最初のところで、
(4/136)×(4/135)×…×(4/124) ={(4^13)×123!}/136!
としましたが、この部分、単純に
(4/136)^13 = 1/(34^13)
が正解かな、とも思ったりしております。

お礼

回答ありがとう御座います。
私の場合、途中から、考え方をこのアプローチにした(この場合も途中でこんがらがったのですが・・）ので、参考になりましたし、分かりやすかったです。

ただ、
>同様に２～４人目までを考えると求める確率は
>[{(4^13)×123!}/136!]× (84/123)　×　[{(3^13)×110!}/123!]×[{(2^13)×98!}/111!]×(86!/99!)
>となるでしょうか。
について、２人目以降の部分がよく理解できません。この求め方だと
[{(4^13)×123!}/136!]× (84/123)　×　[{(3^13)×109!}/122!]×[{(2^13)×96!}/110!]×(83!/96!)
= 24^13×84!/136! = 7.9389417466194695415159635176543e-89
になるような気がするのですが、どうなんでしょう？

>(4/136)^13 = 1/(34^13)
>が正解かな、とも思ったりしております。
は、すみません、なぜこの求め方になるのかがわかりません(;^_^A アセアセ

補足

このような質問にお時間を割いていただいたみなさま、ありがとう御座います。一人ひとりの方に、お礼を書く時間が申し訳有りませんが、今は有りませんので、補足の場を借りて、取り急ぎみなさまへの感謝いたします。

私は、長期間数学的思考と縁の無い生活を送っていたこともあり、なかなかみなさんの回答の内容も理解できないでいます(^^;)
n!の意味は何となく覚えていたのですが、Pの意味を忘れていたり（後で自分で調べるので大丈夫です）・・・。BASICで計算式を書いて、とりあえず計算させてみようと思ったら、階乗の表現方法を忘れていて書けなかったりと、脳味噌の退化を実感する一日でした。

あり得ないのでは？との回答も２つ続けてあったので、なおさら混乱に拍車がかかっています（笑）
じっくりと、考える時間をいただければと思います。１週間程度は締めきらずにおきたいと思います。
お礼は、必ずさせていただきます。

以下、補足です。
hinebotさんへ、、
>一万、九万、一ピン、九ピン、一そう、九そう、東南西北、白發中の状態ですよね。
はい、この状態を想定しています。

hyeonさんへ、、
>最初の１３個に１３種類、次の１３個に１３種類、次の１３個に１３種類、次の１３個に１３種類残りの８４個は何でもいいってことですよね。
多分質問の意図と同じ意味になると思うのですが、少々自信がありません(^^;)

回答No.2

hyeon

確かに頭がこんがらがります。要は並べ方の問題ですからすべての牌を一列に並べたとき最初の１３個に１３種類、次の１３個に１３種類、次の１３個に１３種類、次の１３個に１３種類残りの８４個は何でもいいってことですよね。
最初のひとつは５２個（１３*４）のうち何でもいいですから５２通り、二つ目は最初の一つ目を除いた１２種類のうちから選ぶので４８種類…１３個まで終わって次の１４個目（新しい１３個の初め）は３９個（１３*３）のうち何でもいいので３９種類…このように考えると
　（13*4）*（12*4）*…*（1*4）*（13*3）*（1*3）*…*（13*2）*…*（1*2）*（13*1）*…*（1*1）*84Ｐ84　
＝13！*13！*13！*13！*4＾13*3＾13*2＾13*1＾13*84Ｐ84
を136Ｐ136で割ったものが確率になると思うんですが、どうですかね

お礼

回答ありがとう御座います。

>確かに頭がこんがらがります。
ですよね(^-^;　よかった～、同意してくれる人がいて。

この問題を考えているとき、最初、この回答とほとんど同じアプローチで考えていたのですが、私の場合途中でこんがらがって放棄しました。

>（13*4）*（12*4）*…*（1*4）*（13*3）*（1*3）*…*（13*2）*…*（1*2）*（13*1）*…*（1*1）*84Ｐ84
>＝13！*13！*13！*13！*4＾13*3＾13*2＾13*1＾13*84Ｐ84
>を136Ｐ136で割ったものが確率になると思うんですが、どうですかね
この計算の場合、84P84=84! 136P136=136! で良いですよね？
計算したら、

(13!^4 * (4*3*2)^13 * 84! )/136!
= 6227020800 * 876488338465357824 * 3.3142401345653532669993875791301e+126 / 3.6590428819525486576897272205199e+232
= 4.9435955386187766519986368356485e-79
になりました、やはり凄い確率です。
巨大なブラックホールでも蒸発しちゃうくらいの時間がたっても、こんな配牌にはなりそうにないですね・・・(^_^;)

回答No.1

ADEMU

（４＾１３×３＾１３×２＾１３）／（１３６×１３５×・・・×８５）ではないでしょうか。

お礼

回答ありがとう御座います。

>（４＾１３×３＾１３×２＾１３）／（１３６×１３５×・・・×８５）ではないでしょうか。

質問後、いくつかの考え方で計算してみたのですが、どれも最終的にはこの式になってきました。

この式を計算してみたら、7.9389417466194695415159635176543e-89
になりました。
この値だと１２．５億卓で１秒に一回配牌していても、3.1295308365173948932655928186593e-72年に１回です。
全人類が滅亡するまで麻雀しても誰も見ることができそうにもないですね・・・。