２点間の距離を変えない１次変換
お世話になります。
【問題】
行列
( a b )
( c d )
が、２点間の距離を変えない１次変換であるとき、ad - bc の値を求めよ。
【正解】
ad - bc = ±1
【自分の解答】
2点をA ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )、行列によって移される点をA' , B' とすると
A' ( a*x1 + b*y1 , c*x1 + d*y1 )
B' ( a*x2 + b*y2 , c*x2 + d*y2 )
となる。
条件より
( A , B 間の距離 ) = ( A' , B' 間の距離 )
なので
( A , B 間の距離 )^2 = ( A' , B' 間の距離 )^2
よって
( x2 - x1 )^2 + ( y2 - y1 )^2
= { ( a*x2 + b*y2 ) - ( a*x1 + b*y1 ) }^2 + { ( c*x2 + d*y2 ) - ( c*x1 + d*y1 ) }^2
=( a^2 + c^2 )( x2 - x1 )^2 + 2( ab + cd )( x2 - x1 )( y2 - y1 ) + ( b^2 + d^2 )( y2 - y1 )^2
∴
a^2 + c^2 = 1
ab + cd = 0
b^2 + d^2 = 1
(ここから不明)
【質問】
途中まで上のように頑張ってみましたが、正しいかわかりません。
正しければ続きかヒントを、間違いであれば修正かヒントを下さいませんか。
よろしくお願いします。
お礼
ちょっと違うみたいですが、ありがとうございました。 やっぱ、ないんですかね？