arcsinの偏微分

質問

arcsin y/√(x^2+y^2)　
の偏導関数を求める問題なんですけど、
arcsinX = 1/√(1-X^2)　
を利用して？合成関数的に？する感じだとは思うんですけど
答えがまとまりません。
ちなみに
{√(x^2+y^2)-2xy/√(x^2+y^2)}/(x^2+y^2)√{1-y^2(x^2+y^2)}
になったんですけど。。。

読みにくくてすいません。どなたか解説お願いします。

回答No.6

info22 · ベストアンサー

#5です。
＞なんでf(x,y)=arcsin {y/√(x^2+y^2)}がf(x,y)=arctan(y/x)と一緒になるんですかね^_^；
公式ですが、すぐ導出できる公式です。

直角を挟む、縦の辺AC=y,横の辺AB=xの直角三角形ABC(∠A=π/2)
の図を描いてください。斜辺BC=√(x^2+y^2)ですね。
cosB=x/√(x^2+y^2)→∠B=arccos x/√(x^2+y^2)
sinB=y/√(x^2+y^2)→∠B=arcsin y/√(x^2+y^2)
tanB=y/x →∠B=arctan y/x
同じ∠Bですから
∠B=arccos x/√(x^2+y^2)＝arcsin y/√(x^2+y^2)＝arctan y/x
が成立します。公式です。

∠Cについても同様な関係が成立します。
∠C=arcsin x/√(x^2+y^2)＝arccos y/√(x^2+y^2)＝arctan x/y
覚えておきましょう。もしくはすぐ導出できるようにしておきましょう。
なお、x,ｙがマイナスの場合は、マイナス符号をくくりだして、正にしておいて公式を適用してください。
たとえばx>0,y<0の場合は
arctan y/x＝-arctan (-y)/x＝-arcsin (-y)/√(x^2+y^2)
=arcsin y/√(x^2+y^2)
となってyが負でも成立しますね。

なお、
＞　f_x(x,y)=[1/{1+(y/x)^2}]∂(y/x)/∂x=[1/{1+(y/x)^2}](-y/x^2)
＝-y/{(x^2)+(y^2)}
＞f_y(x,y)=[1/{1+(y/x)^2}]∂(y/x)/∂y=[1/{1+(y/x)^2}](1/x)
＝x/{(x^2)+(y^2)}
と整理できますね。

お礼

おぉ！！！なるほど！！！
分かりました。ありがとうございました。

回答No.5

info22

#1～3です。
＞f(x,y)=arcsin {y/√(x^2+y^2)} 　です。
この式なら
　f(x,y)=arctan(y/x)
と同じですね。

＞一階の偏導関数です。とりあえずxでやってみましたが、yもです。
公式d{arctan(x)}/dx=1/(1+x^2)を利用すれば

　f_x(x,y)=[1/{1+(y/x)^2}]∂(y/x)/∂x=[1/{1+(y/x)^2}](-y/x^2)
f_y(x,y)=[1/{1+(y/x)^2}]∂(y/x)/∂y=[1/{1+(y/x)^2}](1/x)

ですね。
式は整理して下さい。

お礼

ありがとうございます。

すいません、なんでf(x,y)=arcsin {y/√(x^2+y^2)}がf(x,y)=arctan(y/x)と一緒になるんですかね^_^；

回答No.4

arrysthmia

(∂/∂x) arcsin{ y / √(x^2+y^2) } なら、私はこうしました。

r = √( x^2 + y^2 )
θ = arcsin( y / r )
と置けば

x = r cosθ
y = r sinθ
となるので、

これを x で偏微分して、
1 = (∂r/∂x) cosθ + r (- sinθ) (∂θ/∂x)
0 = (∂r/∂x) sinθ + r (cosθ) (∂θ/∂x)

二式から ∂r/∂x を消去すると、
∂θ/∂x = - (sinθ) / r

偏微分する前の式を使って sinθ を消去すると、
∂θ/∂x = - y / r^2

お礼

ありがとうございます。

すいません、∂r/∂x の消去のしかたが分からないんですけどo(_ _*)o

回答No.3

info22

＞次の関数の偏導関数を求めよ　arcsin y/√(x^2+y^2)　
＞ってあるんで。。。
＞教科書に文句いってもらえませんか笑”
という事は
f(x,y)=arcsin y/√(x^2+y^2)すね。
x,yは独立変数ということですね。

括弧が無いのでf(x,y)の式を確認します。
f(x,y)=(arcsin y)/√(x^2+y^2)
f(x,y)=arcsin {y/√(x^2+y^2)}
のどちらですか？

でも偏導関数は
一階の偏導関数には
f_x(x,y)=∂f(x,y)/∂x
f_y(x,y)=∂f(x,y)/∂y
さらに2階の偏導関数として
f_xx(x,y),f_yy(x,y),f_xy(x,y),f_yx(x,y)
更に3階以上の偏導関数も存在します。

何を求めれば良いですか？

お礼

わぁ、まだ不足が(汗　すいません。

f(x,y)=arcsin {y/√(x^2+y^2)} 　です。

一階の偏導関数です。とりあえずxでやってみましたが、yもです。
x^3+y^3-3xy みたいな単純な式の偏微分だったらできるくらいの知識はありますが、理解がだいぶ足りてないようなので、できるだけ丁寧に解説いただけると助かります。申し訳ないです。
よろしくおねがいします。

回答No.2

arrysthmia

(∂/∂x) arcsin{ y / √(x^2+y^2) } = - y / (x^2+y^2)

(∂/∂x) (arcsin y) / √(x^2+y^2) = - (arcsin y) x (x^2+y^2)^(-3/2)

だと思いますが。

お礼

ありがとうございます。

やっぱり全然ちがう汗
なんでこうなるんですかね。。。

回答No.1

info22

偏導関数の定義を分かって見えますか？

y=f(x)の関係にあるなら
y'=dy/dxは偏導関数とは言いません。
単なる導関数です。
arcsin y/√(x^2+y^2)=0という関係にあるなら
y=f(x)という関係にあることになります。

単にarcsin y/√(x^2+y^2)
の式だけならxとyは独立な変数という事になります。

＞{√(x^2+y^2)-2xy/√(x^2+y^2)}/(x^2+y^2)√{1-y^2(x^2+y^2)}
は何を何で微分したものですか？
理解に苦しみます。

お礼

いや、そう言われましても
次の関数の偏導関数を求めよ　arcsin y/√(x^2+y^2)　
ってあるんで。。。
教科書に文句いってもらえませんか笑”

書き忘れてました。arcsin y/√(x^2+y^2)をxで偏微分したんですけど、定数の微分が０になることを忘れてました！！！
それにしても、対して変わらないごちゃごちゃした答えになるんですけど。