熱力学、伝熱学の問題が解けません。

質問

最近、院試にむけて独自で勉強しているんですが、解き方がわからない問題に出くわしました。誰かわかる方教えてください！！解けなくて困っています。

１．温度３００Kの黒体閉曲面内に直径０．０２ｍｍ、長さ４ｃｍの白金線両端に電圧をかけたとき、白金線がその融点（２０４５K）に達する電圧は何ボルトか？
計算に際し、放射伝熱以外の伝熱は無視できるとし、また白金線表面温度は一様でその融点近傍での電気抵抗は２．２Ωとし、放射率は０．２として計算せよ。
ボルツマンの放射係数：σ＝5.68×10^-8 W/(m^2・K^4)

２．周囲環境が３００Kの国体閉曲面であるとき、裸体表面からの放射伝熱による放熱熱伝達率は何　W/m^2・K　か？
計算に際し、裸体表面温度は３１０Kで黒体であるとせよ。

お願いします！！

回答No.1

inara1 · ベストアンサー

伝熱工学の基本問題だと思いますが・・

（１）　白金線内部の温度勾配がないと仮定すれば（白金の熱伝導率が書かれていないのでそう解釈します）、放射による伝熱量 Q [W] は
　　　　Q = ε**σ*A*( T1^4 - T2^4 ) --- (1)
です。ε は放射率 [無次元]、A は伝熱面積（白金の表面積） [m^2]、σ はボルツマンの放射係数（ステファン・ボルツマン定数）、T1 は白金温度 [K]、T2 は黒体温度 [K] です。放射以外に伝熱がないので、白金で消費される電力
　　　　P = I*V --- (2)
は 伝熱量 Q に等しくなります。I は白金線に流れる電流 [A]、V は白金に印加された電圧 [V] です。抵抗 R [Ω] に V [V] の電圧をかけたときに流れる電流 I [A] は、オームの法則により
　　　I = V/R --- (3)
で表されるので、式(2), (3)より
　　　P = V^2/R --- (4)
P と Q は等しいので
　　　ε*A*σ*( T1^4 - T2^4 ) = V^2/R
これで、ε = 0.2、T1 = 2045 [K]、T2 = 300 [K] 、σ = 5.68×10^-8 [W/m^2/K^4]、R = 2.2 [Ω]、A を白金線の円筒側面の表面積（周囲長×線長さ）として、V を計算すれば良いと思います（Ａ は m^2 単位で計算）。

（２）　熱伝達率を h [W/m^2/K]、伝熱量を Q [W]、伝熱面積を A [m^2]、表面温度を T1 [K]、周囲温度を T2 [K] とすれば、ニュートンの冷却則から
　　　Q = A*h*( T1 - T2 ) --- (5)
となります。T1 = 310 [K]、T2 = 300 [K] として、A に上の値（白金の表面積）、Q に上の式(4)の計算結果（ Q = P なので、計算が楽な式(4)のほうを使う）使えば、h が求められると思います。

放射伝熱の式を忘れたとしても、ボルツマンの放射係数 σ の単位 [W/m^2/K^4] から、σ に面積 [m^2] と温度の４乗（の差） [T^4] をかければ伝熱量 [W] になることが分かるので、式(1)は思い出せるはずです。（２）の対流熱伝達の場合も、熱伝達率 h の単位 [W/m^2/K] を見れば、h に温度（差）と面積をかけたのが伝熱量になるという、ニュートンの冷却則（式(5))を思い出せるはずです。

お礼

回答ありがとうございます！！とてもわかりやすかったので理解できました。