こんにちは。
「檀家」は簡単に言えば「そのお寺を支えている信徒の家」といったところでしょうか。
ですから檀家の人間がお寺を継ぐようなことはありません（むしろ逆の立場ですね）。
江戸時代に「檀家制度」というものがありました。
これは宗教政策と人々の管理を同時に行おうというもので、日本全国殆どの庶民の家は「必ず」どこかのお寺の檀家にならなければいけませんでした。
そうすることによって「隠れキリシタン」などを取り締まると共にお寺を通じて戸籍を管理することで人々の支配をより徹底したものにしたのです。
つまり江戸時代は殆どの人がその意志と関係なく「仏教徒」にされ、その「家ごと」近くのお寺さんの信徒ということになっていたのです。
お寺さんは今でいう役所の住民課のような役割も兼ねていました。
ですからお寺さんは苦労して信者を集めなくても良い訳で、その時代非常に仏教界は停滞したとも言われます（無論全部ではありませんが）。
明治になって「廃仏毀釈」の嵐が吹き荒れましたが、多くの庶民にとって「どこかのお寺の檀家」であることは変わりませんでした。
何しろ先祖供養を代々そのお寺さんでやっていましたし、お墓もあります。
「檀家をやめる」ということになれば「じゃあ葬式や先祖供養はどうする？」といった問題にすぐぶつかってしまいますし、地域との繋がりの中心がお寺さんだったりしましたから簡単にどうか出来ることでは無かった訳です。
ですから今でもその関係が続いているような家は少なくありません。
移住してほかの土地に移ったとしてもその土地のお寺さんの檀家に改めてなることも珍しくないのです。
何しろどこにいようとお墓や先祖供養をないがしろには出来ませんし、誰か亡くなれば法要を営まねばなりません。
そしてそれらは仏式によって行われていることが圧倒的に多いからです（檀家制度の影響ですね）。
今ではその辺の線引きが非常に曖昧になっているかもしれませんが、質問者さんのお家にも法要の際などに決まったお寺のお坊さんが見えるようなことでしたら、それは十分にそのお寺さんの「檀家」であると言うことも出来るでしょう。
檀家になれば色々な名目で決まった額のお布施を年に一回などお納めすることもありますが、そういうことは地域や宗はなどによってもやり方は色々で一定の決まりがある訳ではないのです。
