任意の四角形の４つの角の二等分線でできる四角形は 円に内接する

質問

「任意の四角形の四辺の中点を結んでできる四角形は平行四辺形」

ですが、これはベクトルなどを使えば簡単に示すことができました。
次に、

「任意の四角形の４つの角の二等分線でできる四角形は 円に内接する」

を示したいのですが、どのようにすればよいのでしょうか？

http://marine.sci.hyogo-u.ac.jp/~hammer/weblog/2006/03/post_11.html

回答No.2

inara · ベストアンサー

ANo.1さんの補足ですが、四角形の内角をそれぞれ 2α、2β、2γ、2δ とすれば
　（１）　四角形の内角の和は 360度（ α + β + γ + δ = 180度 ）
　（２）　内角の二等分線と両辺とのなす角度はそれぞれ α、β、γ、δ
から、作図によって、二等分線でできる四角形の内角（４箇所）が計算できます。その後
　（３）　二等分線でできる四角形が円に内接するならば、その四角形の対角の和は180度（１箇所がそうなっていれば（１）から、もう１方の和も180度のはず）
となっていることを示せばいいわけです。なお、この四角形は円に内接するので、いわゆる平行四辺形になることはありません（長方形にはなります）。元の四角形の１部が凹んでいる場合は、内角の１部が180度を越えるということを考慮すれば同じように証明できると思います。

お礼

みなさま、よくわかりました、ありがとうございました。

回答No.1

age_momo

必ずとも四角形になるわけではないですが、
（一点に集まることも、ねじれた形になることもありますね）
URLにある形になる場合でいいのなら、

元の四角形の4つの角を∠A,∠B,∠C,∠Dとするとできた四角形の対角は

π-1/2(∠A+∠B) とπ-1/2(∠C+∠D)

および

π-1/2(∠A+∠D) とπ-1/2(∠B+∠C)

です。どちらでもいいので足すと

π-1/2(∠A+∠B)+π-1/2(∠C+∠D) =2π-1/2(∠A+∠B+∠C+∠D)
=2π-π=π

ですからこの四角形は円に内接します。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/m3cir103.htm